江戸川のほとりにて科学啓蒙作家の塾「田井塾」として52年

　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　


　　この世に存するだけで、人は人としてプロである。人は勉強を手段として己の心に「泉」を見出し、いつしかそこに「美」が映えるを知る。これをして彼方に「像」を予感し、それを求めて今を生きる。－田井－


・・・・・　序奏　・・・・・
●モーツァルト●・・・・・「フルートとハープのための協奏曲ハ長調Ｋ．２９９」
　　　　　　　　　　　　　♪・・・第２楽章：アンダンティーノ・・・♪
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✪はじめに✪
　皆（みな）さん、こんにちは。これから、アインシュタインのように頭の中でビー玉を使って「思考実験（しこうじっけん）」をすることによって算数（数学）の問題（もんだい）を解いてまいりたいと思います。さまざまな「思考実験」をすることによって、知っているととても便利（べんり）な分析方法（ぶんせきほうほう）を一緒（いっしょ）に勉強（べんきょう）してまいりましょう。もちろん、この教室にいつお出でになられても気軽に参加できるように文章を工夫して書いています。ですから、ご安心（あんしん）ください。なお、一度（いちど）出（で）て来た漢字（かんじ）は読（よ）み仮名（がな）を振（ふ）っていませんので、分（わ）からない時（とき）は前の問題を調（しら）べてくださいね。
　　　　　　　　　　　
✪とても大切（たいせつ）な助言（じょげん）✪
　いつもかなりゆっくりしたペースで話を進めていますが、このページで大切なことは「問題を分析し、その過程（かてい）で規則性（きそくせい）を発見（はっけん）し、そしてそこから答を導（みちび）く」訓練（くんれん）をすることです。このような勉強の仕方（しかた）があってもいいと思いませんか。実（じつ）を言いますと、これこそが「都立両国高校附属中学校」が受験生（じゅけんせい）に求めている能力（のうりょく）なのです。また、さらに実は、２０２０年からスタートする新たなスタイルの「大学入試」で必要（ひつよう）とされる能力でもあるのです。ここで行われている「思考訓練」をマイペースで楽しめている「君」こそ、「普遍的（ふへんてき）」な才能の持ち主（ぬし）なのです！ご自分の才能を大切に！
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※お願い：「えどがわ産業ナビ」に問題を発表（はっぴょう）する時は解説（かいせつ）を詳（くわ）しく書いていますが、こちらのページでは都合（つごう）により、答のみとさせていただいております。「産業ナビ」にお出でのさいにコピーをお取りくださいますように。

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☆問題（もんだい）－７４☆
　太郎君はビー玉を花子さんより２０個多（おお）く持っています。2人はお友（とも）だちの桃子さんにそれぞれ同（おな）じ数（かず）ずつ、つまり、太郎君は「自分（じぶん）の持っているビー玉を10組（くみ）に分（わ）けた内の2組分（ぶん）」だけ、花子さんは「自分の持っているビー玉を10組に分けた内の3組分」だけあげることにしました。さて、2人は桃子さんにビー玉を何個ずつあげることになりますか。

☆答．12個．（２０１９．１．２９移動）

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☆問題（もんだい）－７３☆
　太郎君はビー玉を花子さんより２８個（こ）多（おお）く持っています。２人はお友（とも）だちの桃子さんに６個ずつあげました。あげた後（あと）、ビー玉を数（かぞ）えると、桃子さんが持っているビー玉の数をマッチ棒（ぼう）１本分（ぶん）とすると、太郎君のビー玉の数がマッチ棒２本分と、さらに１本を４つに分（わ）けた３つ分であることが分（わ）かりました。太郎君はビー玉をはじめ何個持っていましたか。

☆答．４９個．（２０１９．１．３移動）

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☆問題（もんだい）－７２☆
　太郎君はビー玉を花子さんより２１個多（おお）く持っています。２人はお友（とも）だちの桃子さんに５個ずつあげました。あげた後、ビー玉を数（かぞ）えると、花子さんが持っているビー玉の数をマッチ棒（ぼう）１本分とすると、太郎君のビー玉の数がマッチ棒２本分と半分（はんぶん）であることが分（わ）かりました。太郎君ははじめビー玉を何個持っていましたか。

☆答．４０個．（２０１８．１２．２１移動）

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☆問題（もんだい）－７１☆
　太郎君はビー玉を花子さんより２０個（こ）多（おお）く持っています。２人はお友（とも）だちの桃子さんから５個ずつもらいました。もらった後（あと）、ビー玉を数（かぞ）えると、花子さんの持っているビー玉の数（かず）をマッチ棒（ぼう）１本（ぽん）分（ぶん）とすると、太郎君のビー玉の数がマッチ棒３本分であることが分（わ）かりました。太郎君はビー玉をはじめ何個持っていましたか。

☆答．２５個．（２０１８．１１．２３移動）

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☆問題（もんだい）－７０☆
　太郎君は今ビー玉を花子さんより２１個多（おお）く持っています。２人（ふたり）はお友だちの桃子（ももこ）さんに自分（じぶん）たちの持っているビー玉の中からそれぞれ５個ずつあげることにしました。桃子さんにあげた後（あと）、ビー玉を数（かぞ）えると、花子さんのビー玉の数（かず）をマッチ棒１本分（ぶん）とすると、太郎君のビー玉の数がマッチ棒２本分であることが分かりました。太郎君はビー玉をはじめ何個持っていましたか。

☆答．２９個．（２０１８．１１．７移動）

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☆問題（もんだい）－６９☆
　太郎君は今ビー玉を花子さんより１２個多（おお）く持っています。２人（ふたり）はお友（とも）だちの桃子（ももこ）さんに自分（じぶん）たちが持っているビー玉の中からそれぞれ５個ずつあげることにしました。桃子さんにあげた後（あと）、太郎君は花子さんよりビー玉を何個多く持っていますか。

☆解説（かいせつ）☆
　この問題は分（わ）かりましたでしょうか。実（じつ）は、とても大切（たいせつ）な問題なのですよ。たとえば、まず、太郎君のビー玉の方（ほう）が花子さんより１２個多くなるように、自分で勝手（かってに）に決めて並べてみましょう。
　ここでは、太郎君の数を２０個、花子さんの数を８個としてみましょう、まず、太郎君のビー玉を横一列（よこいちれつ）に並べ、その下に、花子さんのビー玉を左端をそろえて並べます。
　それでは、ここで実験（じっけん）です。太郎君と花子さんのビー玉をそれぞれ２個ずつ左端から取（と）り除（のぞ）いてみましょう。どうでしょうか。これによって、右端（みぎはし）の２人のビー玉の違（ちが）いに変化（へんか）が起（お）こっているでしょうか。変（か）わりませんね。
　実はこのような問題の時、２人の持っているビー玉から同じ数ずつ取り除いても、残（のこ）りとして２人が持っているビー玉の数の違いに変化はなく、はじめのままなのです。つまり、答は１２個です。
＜参考（さんこう）＞
　この問題に対（たい）して「あたりまえじゃん」と答えるお友だちがいると思います。そのお友だちにとっては、この問題は「常識（じょうしき）」と言えます。つまり、考えが「常識」になっているかどうかで、問題は「やさしく」も「むずかしく」もなる場合が多いいのですよ。（２０１８．１０．２８移動）

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☆問題（もんだい）－６８☆
　太郎君は自分（じぶん）の持（も）っているビー玉の中から花子さんに１５個（こ）あげました。すると、太郎君の持っているビー玉が２５個となりました。はじめ太郎君はビー玉を何個（なんこ）持っていましたか。

☆解説（かいせつ）☆
　ここでマッチ棒（ぼう）１本（ぽん）をビー玉１０個としましょう。すると、太郎君が今持っているビー玉は、マッチ棒２本と半分（はんぶん）となりますね。
　ところで、太郎君が花子さんにあげたビー玉は１５個でした。この数（かず）をマッチ棒に直（なお）すと１本と半分となります。
　太郎君がはじめに持っていたビー玉の数は、太郎君が今持っているビー玉の数と花子さんにあげたビー玉の数を「１つにまとめる」と求められます。
　そして、ここがポイントです。「１つにまとめる」とは「足し算（たしざん）」をするということです。式（しき）にすると、
　２５＋１５．
　これをマッチ棒で表（あらわ）すと、
　（２本と半分）＋（１本と半分）．
　半分と半分を合わせると１本となり、これから、足し算した数がマッチ棒４本分であることが分（わ）かります。マッチ棒１本がビー玉１０個ですから、４本だと４０個。答は４０個です。（２０１８．１０．１４移動）

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☆問題（もんだい）－６７☆
　太郎君がビー玉を３０個（こ）持っています。この中から何個（なんこ）かを花子さんに渡（わた）したら、残（のこ）りが２０個になりました。太郎君は花子さんにビー玉を何個渡しましたか。

☆解説（かいせつ）☆
　はじめ太郎君はビー玉を３０個持っていました。花子さんにビー玉を渡したあと、太郎君の手に残っているビー玉は２０個ですから、このことから、太郎君のビー玉の減（へ）った数（かず）が分（わ）かります。減った数を求（もと）めるときはどうしたらいいでしょう。そうですね。（はじめに持っていた数）から（残っている数）を引（ひ）くと求められますね。つまり、
　３０－２０．
　この式を計算（けいさん）すると、減った数が１０であることが分かります。
　ここで次（つぎ）の考（かんが）えに注意（ちゅうい）しましょう。それは、（太郎君のビー玉の減った数）と（太郎君が花子さんに渡したビー玉の数）が等（ひと）しい、つまり、同（おな）じだということです。このことから、太郎君が花子さんに渡したビー玉の数が１０個であることが分かります。答は１０個。（２０１８．１０．５移動）

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☆問題－６６☆
　次の式の中の□には同じ数が入ります。その数を計算で求めてください。なお、○／△は分数で、△は分母の値、○は分子の値を意味しています。

　（３０＋２×□）／（３４＋３×□）＝２７／３５．

☆解説☆
　それではさっそく始めましょう。まず、分子の（３０＋２×□）を３組用意し、２７平分も３回足します。すると、（９０＋６×□）が８１平分となります。次に、分母です。
（３４＋３×□）を２組用意し、３５平分も２回足します。すると、（６８＋６×□）が７０平分となります。これを式として表してみましょう。すると、

　（９０＋６×□）／（６８＋６×□）＝８１／７０．

　この式をよく見てください。とても大きなヒントが隠（かく）れていますよ。
　そうです。６×□は同じですから、手の平で81平分と７０平分の差が９０と６８の差に等しいということです。８１平分－７０平分＝１１平分ですね。それから、９０－６８＝２２ですから、したがって、１１平分が２２であることが分かります。
　ここで、ビー玉22個を手の平11平に順番に乗せて行くと、1平に2個が乗ることが分かりますね。それでは、またはじめの式の分子に注目しましょう。分子は
　３０＋２×□＝27平分．
　27平分の数はビー玉2個を27回足すことによって求められますから、
　（２＋２＋２＋２＋２）＋（２＋２＋２＋２＋２）＋（２＋２＋２＋２＋２）＋（２＋２＋２＋２＋２）＋（２＋２＋２＋２＋２）＋２＋２＝１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋４＝５４．
　これより、
　３０＋２×□＝５４．
　ここで、ビー玉30個が54個になったと考えると、増えたビー玉の数が分かります。これが、２×□の数です。
　５４－３０＝（１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋４）－（１０＋１０＋１０）＝２４．
　したがって、
　２×□＝２４．
　この式は２を□回足すと24になることを意味しています。２を１０回足すと２０、あと２回で４ですから、したがって、２を１２回足すと２４になることが分かります。
以上により、□＝１２．答は１２です。　（２０１８．１０．５）

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✪問題－６５✪
　次の式の中の□には同じ数が入ります。その数を計算で求めてください。なお、○／△は分数で、△は分母の値、○は分子の値を意味しています。

　（３０－２×□）／（３４＋３×□）＝９／２６．

✪解説✪
　これまでのように、（３０－２×□）を２つの組に分けるとすると、９平分が小数になってしまいます。また、（３４＋３×□）を３つの組に分けるとすると、まず３４が小数にしても分けられませんし、さらに２６平分もやはり小数にしても分けられません。何か新しい方法を考えなければなりません。
　それでは、ここで（３０－２×□）を３組用意し、これを１つにまとめましょう。これは３０個のビー玉３組の合計から□２個を１組とするビー玉を３組引くことと同じですから、したがって、３０＋３０＋３０＝９０，（□＋□）＋（□＋□）＋（□＋□）＝６×□より、９０－６×□となります。また、右辺の分子の９平分も３回足すことになりますから、したがって、９＋９＋９＝２７より２７平分となります。
　次に、（３４＋３×□）を２組用意し、上と同じ考え方をして、１つにまとめてみましょう。これは３４個のビー玉２組の合計に□３個を１組とするビー玉を２組足すことと同じですから、したがって、３４＋３４＝３０＋４＋３０＋４＝６０＋８＝６８，（□＋□＋□）＋（□＋□＋□）＝６×□より、６８＋６×□となります。また、右辺の分母の２６平分も２回足すことになりますから、したがって、２６＋２６＝２０＋６＋２０＋６＝２０＋２０＋５＋１＋５＋１＝４０＋１０＋２＝５２より５２平分となります。
　以上により、問題として与えられた式は次のように書き換えられます。

　（９０－６×□）／（６８＋６×□）＝２７／５２．

　さて、もう答えが出たお子さんもいらっしゃることと思います。それでは続けましょう。
　上の左側の式を見ると、９０個のビー玉の中から６×□個を取り出して、これを６８個のビー玉の中に移したと考えることができます。このことから、両方のビー玉を足した合計が、移す前と変わらないことが分かります。つまり、

　９０＋６８＝９０＋１０＋５８＝１００＋５８＝１５８個．

　一方、この時の手の平を使って数えた回数は、やはり、移す前の回数の合計と変わりませんから、したがって、

　２７＋５２＝２０＋７＋５０＋２＝２０＋５０＋７＋２＝７０＋９＝７９平分．

　以上により、手の平を使って数えた７９平分のビー玉の合計が１５８個であることが分かります。
　それでは次に、一回の手の平にビー玉が何個載（の）っているか考えることにしましょう。まず、手の平一回分を皿一枚として皿を７９枚用意します。これにビー玉を一個ずつ載せていくと、全部で７９個載せたことになります。したがって、残っているビー玉は、

　１５８－７９＝（１４０＋１８）－（７０＋９）＝（７０＋７０＋９＋９）－（７０＋９）
＝（７０＋９＋７０＋９）－（７０＋９）＝７０＋９＝７９．

　これより、７９個残っていることが分かります。このことから皿にさらに一個ずつ載せられることが分かります。したがって、以上により、一皿にビー玉が２個載っていること、言い換えると、１平分が２個であることが分かります。
　それでは、またもとの式に戻りましょう。式の左辺と右辺の分子同士（どうし）を比べることによって、３０－２×□のビー玉の数が９平分であることが分かります。また、１平分のビー玉が２個であることが分かりましたから、したがって、９平分の数は２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２より１８個であることが分かります。以上により、次の式が成り立ちます。

　３０－２×□＝１８

　いよいよ答えですね。と、言いたいところですが、皆さんはこの□の値をどのようにして求めるでしょうか。
　たとえば、３０－２×□＝１５＋１５－□－□＝（１５－□）＋（１５－□）と書き直すことが出来ます。すると、求められた式は次のようになります。

　（１５－□）＋（１５－□）＝９＋９．

　したがって、この式から、１５－□＝９であることが分かります。これは１５個のビー玉から□個を取り除いたら、残りが９個であることを意味しています。このことから、１５個から残りの９個を取り除けば□の数が求められることが分かります。ですから、

　□＝１５－９＝６＋９－９＝６．

　以上により、□が６個であることが分かりました。答えは□＝６．（２０１７．７．１７）

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✪問題－６４✪
　次の式の中の□には同じ数が入ります。その数を計算で求めてください。なお、○／△は分数で、△は分母の値、○は分子の値を意味しています。

　（９５－２×□）／（１０５＋３×□）＝７／３９．

✪解説✪
　まず式から１０５＋３×□が３９平分あることが分かります。ここで、１０５＋３×□を３つの組に分けてみましょう。１０５＝３０＋３０＋３０＋１５＝３０＋５＋３０＋５＋３０＋５＝３５＋３５＋３５となりますから、１０５＋３×□＝（３５＋□）＋（３５＋□）＋（３５＋□）となります。一方、３９を３つの数に分けると、３９＝１０＋１０＋１０＋３＋３＋３＝１３＋１３＋１３より１３になります。以上により、３５＋□が１３平分であることが分かります。
　ところで、分子は９５－２×□になっていますから、これにそろえて（３５＋□）＋（３５＋□）とすると、３５＋３５＋□＋□＝７０＋２×□となります。この時、手の平の方の数は１３＋１３＝１０＋３＋１０＋３＝２０＋６＝２６より２６平分であることが分かります。
　以上により、はじめの式は次のように書き換えられます。

　（９５－２×□）／（７０＋２×□）＝７／２６．

　これでこれまでと同じ形の式になりました。それでは続けましょう。まず、上の式は次のように表現できます。
　「９５個あるビー玉の中からある数の２倍を取り出し、これを７０個あるビー玉の中に移しました。すると、ビー玉は手の平でそれぞれ７平分、２６平分になりました。」
　ここで大切なことは、分母と分子とで同じ数のビー玉のやり取りをしているので、ビー玉の合計に変化はないということです。つまり、ビー玉のはじめの数は
　９５＋７０＝９０＋５＋５＋６５＝９０＋１０＋６５＝１００＋６５＝１６５より１６５個。
　この数を手の平を使って数えると、７＋２６＝７＋３＋２３＝１０＋２３＝３３より、３３平分あることが分かります。
　それでは１６５個のビー玉を３３組に分け、１回の手の平に何個乗っていたか調べてみましょう。
　１６５＝５０＋５０＋５０＋１５
　　　＝（５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５）＋（５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋　　　　５＋５＋５）＋（５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５）＋（５＋５＋５）．
　この計算から、１６５個のビー玉を３３組に分けると１つの組が５個になっていることが分かります。つまり、１回の手の平に５個のビー玉が乗っていたことが分かります。
　ところで、９５－２×□が７平分の数になりますから、したがって、５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＝１０＋１０＋１０＋５＝３５より、９５－２×□＝３５．
　ここで、９５からいくら取り除いたら３５になるか、と考えてみましょう。すると、
　９５－３５＝（６０＋３５）－３５＝６０より６０であることが分かります。したがって、
　　　２×□＝６０．
　ここで、２×□を□×２と書き直すと、□＋□＝６０．また、６０＝３０＋３０ですから、したがって、□＝３０．以上により、答は３０です。（２０１７．２．５）

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✪問題－６３✪
　次の式の中の□には同じ数が入ります。その数を計算で求めてください。なお、○／△は分数で、△は分母の値、○は分子の値を意味しています。

　（３５＋□）／（２１０－２×□）＝５／１８．

✪解説✪
　まず、これまでと同じように上の式を、ビー玉３５個に□個を足した数とビー玉２１０個から□個の２倍を引いた数に置き換え、そしてこれらを比べてみましょう。しかし、実は、これですと問題を解くためのヒントが得られません。どうしたらいいでしょう。
　たとえば、上の式の分母を（１０５－□）＋（１０５－□）と変形し、また右辺の分母の１８平分も９平分と９平分に分けてみましょう。すると、これによって上の式は次のように変形されます。

　（３５＋□）／（１０５－□）＝５／９．

　ここで、分母のビー玉１０５個から□個を引いて、これを分子の３５個に付け加えたと考えると、全体のビー玉の数が変わらないことが分かります。つまり、全体の数は３５＋１０５＝３０＋５＋１００＋５＝３０＋１０＋１００＝１４０より、１４０個です。また、全体の数を手の平で数えると、５＋９＝４＋１＋９＝４＋１０＝１４より、ビー玉が全部で１４平分あることが分かります。
　したがって、ビー玉１４０個を１４の組に分けて、１平分の数を求めると、

１４０＝１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０

　となりますから、これより、１平分が１０個であることが分かります。
　またもとの式に戻ると、３５＋□の数が５平分、つまり、１０＋１０＋１０＋１０＋１０＝５０より、５０となりますから、したがって、３５＋□＝５０となります。
　これは３５に□だけ増やしたら５０になったことを意味していますから、増えた分の数を求めると、５０－３５＝３０＋２０－３５＝３０＋５＋５＋１０－３５＝３５＋１５－３５＝１５＋３５－３５＝１５より、□が１５であることが分かります。答は１５です。
（２０１６．１２．２５）

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✪問題－６２✪
　次の式の中の□には同じ数が入ります。その数を計算で求めてください。なお、○／△は分数で、△は分母の値、○は分子の値を意味しています。

　（５６＋□）／（１２０－□）＝７／９．

✪解説✪
　さて、上の分数の式を次のように表現してみましょう。

　はじめ、ビー玉が上の段と下の段にそれぞれ横一列に５６個，１２０個並んでいました。ここで、上の段にビー玉を□個増やし、下の段から□個減らしてみました。すると、手の平に一度に乗る数を決めて調べると、下の段にはビー玉が９平分、上の段には７平分が並んでいることが分かりました。

　これで今まで通りの考え方で問題が解けるようになりました。それでは話を進めましょう。
　まず、上の段のビー玉にさらに□個のビー玉を増やし、下の段のビー玉から□個減らしたわけですが、ここで見方を変えると、ビー玉を下の段から上の段に□個だけ移したとも考えられます。すると、上の段と下の段のビー玉の合計が変わっていないことに気付きます。つまり、移動した後の合計も、５６＋１２０＝５０＋６＋１２０＝５０＋１２０＋６＝１７０＋６＝１７６より１７６個となります。
　一方、上の段のビー玉は手の平で７平分、下の段は９平分ですから、したがって、これらを合わせると、７＋９＝１６より、ビー玉が全部で１６平分あることが分かります。つまり、１７６個のビー玉が手の平で１６平分だけあるわけです。
　それではここで、１７６個のビー玉を次のようにして１６組に分けてみましょう。
　１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１６
　＝（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）．
　この計算から１回の手の平にビー玉が１１個乗っていることが分かります。
　上の段のビー玉について考えると、５６個のビー玉に□個のビー玉を足したら、合計が手の平で７平分になったことが分かります。ここで１平にビー玉が１１個乗っていますから、したがって、７平分では１１＋１１＋１１＋１１＋１１＋１１＋１１＝（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＋（１０＋１）＝７０＋７＝７７より７７個となります。
　以上により、５６個のビー玉に□個のビー玉を足したら７７個になったことが分かります。これを式にすると、５６＋□＝７７．ここで□の数は７７個のビー玉から５６個を取り除くことによって求められますから、したがって、
　□＝７７－５６＝（２１＋５６）－５６＝２１
　より、□＝２１であることが分かります。答は２１です．（２０１６．１０．２６）

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✪問題－６１✪
　次の式の中の□には同じ数が入ります。その数を計算で求めてください。なお、○／△は分数で、△は分母の値、○は分子の値を意味しています。

　（５２－□）／（８８－□）＝５／１１．

✪解説✪
　さて、上の分数の式を次のように表現してみましょう。

　はじめ、ビー玉が上の段と下の段にそれぞれ横一列に５２個，８８個並んでいました。ここで、上と下の段からビー玉を□個ずつ減らしてみました。すると、手の平に一度に乗る数を決めて調べると、下の段にビー玉が１１平分、上の段に５平分が並んでいることが分かりました。

　これで今まで通りの考え方で問題が解けるようになりました。それでは続けてまいりましょう。
　まず、ここで大切なことは、上の段と下の段からビー玉を同じ数ずつ引いても「差は変わらない」ということです。初めの差は８８－５２＝（３６＋５２）－５２＝３６ですから、両方から□を引いた後のビー玉の差も３６個なのです。
　次に、手の平を使ってビー玉を数えた場合ですが、両方から□を引いた後の差は１１－５＝（６＋５）－５＝６より６平分であることが分かります。これは３６個のビー玉を手の平を使って数えたら、６平分あったことを意味していますから、したがって、３６＝６＋６＋６＋６＋６＋６より、１回の手の平にビー玉が６個乗っていることが分かります。
　それでは上の段に戻ってみましょう。５２個のビー玉から□個を取り除いたら１回の手の平に６個握（にぎ）って、それが５回分残ったことが分かります。５回分の合計は６＋６＋６＋６＋６＝（５＋１）＋（５＋１）＋（５＋１）＋（５＋１）＋（５＋１）＝５＋５＋５＋５＋５＋（１＋１＋１＋１＋１）＝５＋５＋５＋５＋５＋５＝（５＋５）＋（５＋５）＋（５＋５）＝１０＋１０＋１０＝３０より、３０個であることが分かります。
　つまり、５２個のビー玉から□個を取り除いたら３０個残っていたわけです。ここで、５２＝２２＋３０ですから、５２から２２取り除くと、残りが３０になることが分かります。このことから、□＝２２となります。答は２２です。（２０１６．９．７）

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✪問題－６０✪
　次の式の中の□には同じ数が入ります。その数を計算で求めてください。なお、○／△は分数で、△は分母の値、○は分子の値を意味しています。

　（□＋４３）／（□＋７１）＝１３／２０．

✪解説✪
　もしかすると、どうして今までと違った形の問題がいきなり出るのだろう、と思われるかも知れません。ところが、そうではないのです。これまでの応用（おうよう）なのですよ。たとえば、上の分数の式を次のように表現してみましょう。

　はじめ、ビー玉が上の段と下の段にそれぞれ横一列に４３個、７１個並んでいました。ここで、上と下の段にビー玉を□個ずつ増やしてみました。すると、下の段の数を２０平分として、これを基にして考えると、上の段には１３平分のビー玉が並んでいることが分かりました。

　いかがですか。中学１年で習う方程式を使って解くとかえってレベルの高い問題となりますが、これまでの方法で解くと簡単に解けてしまいますよ。まず、ご自分で解いてみてください。のんびりのんびり進みますよ。
　間が空いてしまいました。現在「江戸川区共育プラザ小岩」の「検定対策部」で使用する「英検準１級」用の教材の作成に時間を掛けてしまっています。申し訳ありません。
　さて、もう答が出てしまっていることと思いますが、説明を続けましょう。前回説明しましたように、上の段と下の段のビー玉の列にそれぞれ同じ数のビー玉を足しても、引いても差（数の違い）は、そうする前の数の差と同じでした。
　この考えを使いましょう。まず、□を足す前の上と下の段のビー玉の数の差ですが、これは、７１－４３＝（２８＋４３）－４３＝２８より、２８個。次に、□を足した後の差を手の平を使って数えると、２０－１３＝（７＋１３）－１３＝７より、この差が７平分であることが分かります。つまり、７平分が２８個であるわけです。
　この２８個を７つの組に分けると、２８＝４＋４＋４＋４＋４＋４＋４より１つの組が４個となり、これより１平分が４個であることが分かります。
　ここで、上の段のビー玉について考えてみましょう。まず、□個を足すと１３平分になったのですから、したがって、ビー玉の数は、
　４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４
＝（４＋４＋２）＋（２＋４＋４）＋（４＋４＋２）＋（２＋４＋４）＋（４＋４＋２）＋２
＝１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋２
＝５２．
　これより、□個足した後のビー玉が５２個であることが分かります。
　ところで、上の段にははじめビー玉が４３個ありましたから、したがって、
　５２－４３＝（９＋４３）－４３＝９
　より、ビー玉が９個増えたことが分かります。以上により、□＝９です。答は９．
（２０１６．７．２１）

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✪問題－５９✪
　ビー玉を上の段と下の段に横一列にきちんとそろえて並べました。すると、上の段の方が１５個多くなりました。次に、上の段と下の段からビー玉を3個ずつ取り除きました。それから手の平に同じ数ずつのせて数えてみました。すると、上の段に１３平分、下の段に１０平分のビー玉がありました。はじめ上の段にビー玉は何個並んでいましたか。

✪解説✪
　それでは前回の知識を応用して解いてみましょう。上の段と下の段からビー玉を同じ数ずつ取り除いていますから、したがって、上と下の段の差は１５個のままです。一方、手の平で数えると上の段の方が3平分だけ多くなっています。このことから、３平分が１５個であることが分かります。
　３平分が１５個であることから、１平分が何個か調べてみましょう。
　１５＝５＋５＋５．
　これから、１５個を３つの組に分けると１つの組が５個になることが分かります。このことから１平にビー玉が５個乗っていることが分かります。
　さて、いよいよ答です。先に皆さんに答を出していただきましょうね。いかがですか。そうですね。先ず上の段の１３平分のビー玉の数を求めると、
　５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５＋５
＝（５＋５）＋（５＋５）＋（５＋５）＋（５＋５）＋（５＋５）＋（５＋５）＋５
＝１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋５＝６５．
　したがって、上の段にビー玉が65個あることが分かります。これははじめの数から3個取り除いた後の数ですから、したがって、はじめの数を計算すると、
　６５＋３＝６０＋（５＋３）＝６０＋８＝６８．
　これより、上の段にビー玉がはじめに６８個あったことが分かります。答は68個です。（２０１６．６．１６）

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✪問題－５８✪
　ビー玉を上の段と下の段に横一列にきちんとそろえて並べました。すると、上の段の方が１２個多くなりました。次に、上の段と下の段にビー玉を５個ずつ増やし、今度は手の平に同じ数ずつのせて数えてみました。すると、上の段に１３平分、下の段に９平分のビー玉がありました。はじめ上の段にビー玉は何個並んでいましたか。

✪解説✪
　この問題を解く前に簡単な実験をしてみましょう。今上の段にビー玉が７２個、下の段に６０個並んでいるとしましょう。この時は、７２＝６０＋１２より、上の段の方が１２個多いことが分かります。それでは次に、上の段と下の段にビー玉を１０個ずつ増やしてみましょう。すると、上の段のビー玉は、７２＋１０＝８２より８２個、下の段は、６０＋１０＝７０より７０個であることが分かります。これまでの計算から、上の段のビー玉が下の段より何個多いか考えてみましょう。上の段は８２個、下の段は７０個ですから、また、８２＝７０＋１２ですから、したがって上の段の方が１２個多いことが分かります。
　以上により、私たちはとても大切な考えを知ることができます。それは「上の段と下の段にビー玉を同じ数ずつ増やした場合、上と下の段のビー玉の数の差は増やす前の時の差と同じだ」ということです。小学生の皆さんは、このことに気付かないと、上の問題は少し難しいかも知れません。
　話を続（つづ）けましょう。同じ数ずつ増やした場合、上の段の方が下の段よりやはり１２個多くなっていることが分かりました。手の平に乗せて数えると、この数が１３－９＝４＋９－９＝４より４平分に当ることが分かります。また、１２個を４つの組に分けると、１２＝３＋３＋３＋３ですから、これより１平分が３個であることが分かります。
　上の段にはビー玉は１３平分ありますから、したがって、
　　３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３
　＝（３＋３＋３）＋（３＋３＋３）＋（３＋３＋３）＋（３＋３＋３）＋１＋１＋１
　＝（３＋３＋３＋１）＋（３＋３＋３＋１）＋（３＋３＋３＋１）＋（３＋３＋３）
　＝１０＋１０＋１０＋９
　＝３９．
　この計算より、上の段にビー玉が３９個並んでいることが分かります。
　ところで、この数は１０個増やした後の数ですから、したがって、上の段のはじめの数は３９から１０を引いて、
　３９－１０＝２９＋１０－１０＝２９．
　これより、はじめに２９個あったことが分かります。答は２９個。（２０１６．５．１３）

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✪問題－５７✪
　これからビー玉を手の平に同じ数ずつのせて個数を求める方法を考えてみましょう。たとえば、次のような問題があります。
　はじめに、ビー玉を横一列に並べ、これを手の平にのせて数えたら手の平１２回分ありました（私たちはこれからこれを「１２平分（ひらぶん）」と呼ぶことにしたいと思います）。次に、その下にビー玉を上の列ときちんとそろえて横一列に並べ、これを手の平にのせて数えたら、ビー玉は１５平分ありました。また、上と下の列のビー玉を数えると、下の列の方が９個多くなっていました。上の列にはビー玉が何個並んでいますか。

✪解説✪
　今回からこれまでと違った問題を考えていきたいと思います。かなり奥の深い問題となっていきます。これまでと同じように問題を解く方法をじっくり考えながら進めてまいりたいと思います。それではさっそく、考えてみましょう。
　まず、文章から下の列のビー玉の方が9個多くなっていることが分かります。また、手の平にのせて数えると下の列の方がビー玉が３平分だけ多いことが分かります。このことから、「３平分のビー玉と９個が等しくなっている」ことが分かります。
　さっそく、９個のビー玉を３つの手の平に分けてのせてみましょう。ここで、
　９＝３＋３＋３．
　これより、１つの手の平にビー玉が３個のることが分かります。つまり、「ビー玉１平分が３個」であることが、これで分かります。
　ところで、上の列にはビー玉が１２平分ありますから、したがって、３を１２回足し、さらにたし算を工夫すると、
　３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３
＝（３＋３＋３）＋（３＋３＋３）＋（３＋３＋３）＋（３＋３＋３）
＝９＋９＋９＋９
＝９＋９＋９＋１＋１＋１＋６
＝（９＋１）＋（９＋１）＋（９＋１）＋６
＝１０＋１０＋１０＋６＝３６．
　この計算により、上の列にビー玉が３６個あることが分かります。答は３６個。
（２０１６．４．２３）

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✪問題－５６✪
　ビー玉４個を方眼用紙の真ん中に正方形の形に並べ、これを第一周とします。次にこの正方形の周りにビー玉を一周並べ、これを第二周とします。これからさらに第三周、四周と順々に並べて行ったところ、ビー玉を全部で１４４個使いました。ビー玉を第何周まで並べましたか。とても大切な「思考訓練」なのですよ。

✪解説✪
　はじめに、第一周めのビー玉４個を方眼用紙の真ん中に正方形の形にすき間を作らないように並べましょう。次にこの周りにやはり正方形の形にビー玉をきちんと並べていきましょう。そして、これを第二周めとします。ここでは、まず第一周めの各辺の横に２個ずつ並べ、さいごに角に１個ずつ計４個置くことになりますので、第二周めには全部で２＋２＋２＋２＋１＋１＋１＋１＝１２より１２個並んでいることが分かります。これで、第一周めが４個、第二周めが１２個であることが分かります。
　ここで第一周めと第二周めのビー玉の差に注目してみましょう。そうですね。第二周めの方が８個多くなっています。すでにお気付きになっていることと思いますが、ビー玉は一周増えるたびに８個ずつ多くなっていくのでした。それでは、このことに注意して、整理しましょう。すると、
　第一周めの個数・・・４
　第二周めの個数・・・４＋８＝１２
　第三周めの個数・・・１２＋８＝２０
　第四周めの個数・・・２０＋８＝２８
　第五周めの個数・・・２８＋８＝３６
　それでは、上に得られた数を次のように書き直してみましょう。
　第一周めまでの個数・・・４
　第二周めまでの個数・・・４＋１２＝１６
　第三周めまでの個数・・・４＋１２＋２０＝３６
　第四周めまでの個数・・・４＋１２＋２０＋２８＝６４
　第五周めまでの個数・・・４＋１２＋２０＋２８＋３６＝１００
　ここで、上に導いた数を使ってどんな「規則」があるか考えてみましょう。すると、
　第一周めまでの個数・・・４＝２×２
　第二周めまでの個数・・・１６＝４×４
　第三周めまでの個数・・・３６＝６×６
　第四周めまでの個数・・・６４＝８×８
　第五周めまでの個数・・・１００＝１０×１０．
　ここまでの個数の変化に注目して、規則を見付けてみましょう。するとまず、第□周の正方形の形をした一辺に、ビー玉が「２×□」個並んでいること、次に、この個数を正方形のたてと横の個数とすると、第□周までのビー玉の個数が次の式で表されることが分かります。
　（２×□）×（２×□）＝４×□×□.
　これで今問題にしている並べ方に対するビー玉の数を求めるための「公式」が完成しました。さっそく、この式を使ってさらに計算をしてみましょう。すると、
　第六周めまでの個数・・・4×6×6
＝４×（６＋６＋６＋６＋６＋６）＝４×（６＋６＋６＋４＋２＋４＋２＋４＋２）
＝４×（１０＋１０＋１０＋２＋２＋２）＝４×３６＝３６×４＝３６＋３６＋３６＋３６
＝３０＋６＋３０＋６＋３０＋６＋３０＋６＝３０＋３０＋３０＋３０＋６＋６＋６＋６
＝１２０＋６＋６＋４＋２＋４＋２＝１２０＋１０＋１０＋２＋２＝１４４．
　出来るだけかけ算を使わないで計算してみました。その結果、第六周めまでで個数が１４４個になっていることが分かりました。そうですね。答は第六周めまでとなります。（２０１６．４．５）

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✪問題－５５✪
　ビー玉を方眼用紙（ほうがんようし）の真ん中に１個置き、これを第一周とします。次にこれを中心にしてビー玉を正方形の形に第二周、第三周、・・・と並べていったところ、全部で１２１個使いました。ビー玉を第何周まで並べましたか。

✪解説✪
　はじめに、第一周目のビー玉１個を方眼用紙に置きましたら、その周りに第二周目のビー玉をきちんと並べてみましょう。さて、何個並びますか。ここが大切なポイントです。
　まず、はじめの１個を中心にして、上と下、右と左にそれぞれ１個ずつ置きます。さいごに、角に１個ずつ置きますから、したがって、第二周目には８個並ぶことになります。それでは、第三周目には何個並ぶでしょうか。実は、これはこれまでお話していることですが、これからは一周増えるたびに、ビー玉は８個ずつ増えて行くのです。したがって、個数についての規則性（きそくせい）を見付けるために整理（せいり）すると、次のようになります。ただし、単位は省略しています。
　第一周めの個数・・・・・１
　第二周めの個数・・・・・８
　第三周めの個数・・・・・８＋８＝８＋２＋６＝１０＋６＝１６
　第四周めの個数・・・・・１６＋８＝１６＋４＋４＝２０＋４＝２４
　第五周めの個数・・・・・２４＋８＝２４＋６＋２＝３０＋２＝３２
　ここまで整理してみました。それでは、上に得られた数を次のように書き直してみましょう。
　第一周めまでの個数・・・・・１
　第二周めまでの個数・・・・・１＋８＝９
　第三周めまでの個数・・・・・１＋８＋１６＝９＋１６＝９＋１＋１５＝１０＋１５＝２５
　第四周めまでの個数・・・・・１＋８＋１６＋２４＝２５＋２４＝２０＋５＋２０＋４＝４９
　第五周めまでの個数・・・・・１＋８＋１６＋２４＋３２＝４９＋３２＝４９＋１＋３０＋１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝８１
　どうですか。第一周めから第五周めまで、それぞれの周めまでごとの個数を並べると次のようになることが分かりますね。ここでは「まで」という言葉に注意してくださいネ。
　　１，９，２５，４９，８１，・・・・・・
　さて、このように数を並べると何かに気付きませんでしょうか。そうです。
　　１＝１×１，９＝３×３，２５＝５×５，４９＝７×７，８１＝９×９，・・・
と、なっているということです。もうここまで来たら答が出たも同じですよ。ただし、ここにとても大切な考えがあります。
　それは、第□周目までの数を求めるとき、まず、□＋（□－１）の値を求め、それから、たとえば、これを計算して得られる値を△とすると、これを△×△と計算することによってはじめて第□周めまでの個数が求められるという「規則性」を発見しなければならないことです。
　それではこの「規則性」にしたがって計算してみましょう。
　第一周めまでの個数は、１＋０＝１より、・・・１×１＝１
　第二周めまでの個数は、２＋１＝３より、・・・３×３＝９
　第三周めまでの個数は、３＋２＝５より、・・・５×５＝２５
　第四周めまでの個数は、４＋３＝７より、・・・７×７＝４９
　第五周めまでの個数は、５＋４＝９より、・・・９×９＝８１
　第六周めまでの個数は、６＋５＝１１より、・・１１×１１＝１２１
　以上により、ビー玉を第六周めまで並べていたことが分かりました。答は第六周めまでです。（２０１６．２．１６）

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✪問題－５４✪
　ビー玉を正方形の図の周りに第一周から第五周まで並べると、合計が１３８個と１４８個の間にあることが分かりました。第一周の一辺にビー玉は何個並んでいますか。

✪解説✪
　まずこれまでのおさらいとして、一周増えるたびにビー玉が８個増えることを思い出しましょう。すると、第一周のビー玉を□個とすると、次のような関係式が得られます。ただし、単位は省略（しょうりゃく）しています。
　　第一周・・・・・□
　　第二周・・・・・□＋８
　　第三周・・・・・□＋８＋８
　　第四周・・・・・□＋８＋８＋８
　　第五周・・・・・□＋８＋８＋８＋８
　今はまだ前回と同じですが、復習としてお付き合いくださいネ。上の関係式の中には８が全部で１０個あります。これを全部足してみましょう。すると、
　　　８＋８＋８＋８＋８＋８＋８＋８＋８＋８
　　＝（８＋８＋８＋８＋８）＋（８＋８＋８＋８＋８）
　　＝（８＋８＋８＋８＋２＋２＋２＋２）＋（８＋８＋８＋８＋２＋２＋２＋２）
　　＝（１０＋１０＋１０＋１０）＋（１０＋１０＋１０＋１０）
　　＝４０＋４０＝８０．
　これより、ビー玉８個の組が１０組で合計が８０個であることが分かります。
　次に、□が５個で合計がいくつといくつの間にあるか計算してみましょう。すると、
　１３８－８０＝５８＋８０－８０＝５８，
　１４８－８０＝６８＋８０－８０＝６８．
　この計算から、□が５個の合計が５８と６８の間にあることが分かります。ところで、□が５個集まると合計は５の倍数になりますから、したがって、まず、５の倍数を書き並べると、
　５，１０，１５，２０，２５，３０，３５，４０，４５，５０，５５，６０，６５，７０，・・・・
となります。これより、５８と６８の間にある数を求めると、６０と６５の２つあることが分かります。それではここで、それぞれの場合について考えてみましょう。
　まず、第一周が６０個の場合です。
　角のところで数え間違わないように、はじめに、角の４個を取り除きましょう。すると、６０－４＝５６＋４－４＝５６となります。
　第一周には辺が４つありますから、この数を4つに分けると、
　５６＝１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋６
　　＝１０＋１０＋１０＋１０＋４＋４＋２＋６
　　＝１０＋１０＋１０＋１０＋４＋４＋４＋４
　　＝１４＋１４＋１４＋１４
となって、５６を４つに分けると、１つ分が１４であることが分かります。ところで、数え間違わないように、一辺の両端から２個取り除いていますから、したがって、一辺に並んでいるビー玉の数は１４＋２＝１６より１６個であることが分かります。
　それでは次に、第一周が６５個の場合です。
　やはり、角のところで数え間違わないように、はじめに、角の４個を取り除きましょう。すると、６５－４＝６１となります。
　第一周には辺が４つありますから、この数を４つに分けると、
　６１＝１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１
　　＝１０＋１０＋１０＋１０＋５＋５＋５＋５＋１
　　＝１５＋１５＋１５＋１５＋１．
　これより、６１個のビー玉を４つの組に分けると１組が１５個となって１個余ることが分かります。これは６１個のビー玉を１組の数が整数となるように４つの組に等しく分けられないことを意味しています。以上により、答は第一周のビー玉が６０個の時で、一辺の数が１６個となります。答は１６個。（２０１６．１．８）

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✪問題-53✪
　ビー玉を正方形の図の周りに第一周から第五周まで並べると、合計が１３８個と１４２個の間にあることが分かりました。ビー玉は全部で何個ありますか。

✪解説✪
　まず、この問題を解く時に注意しなければならないことがあります。そうですね。一周増えるたびに、ビー玉が８個増える、ということです。ここで、第一周のビー玉を□個としましょう。すると、第一周から第五周まで次のように書くことができます。ただし、個数の単位である「個」は省略（しょうりゃく）しました。
　　第一周・・・・・□
　　第二周・・・・・□＋８
　　第三周・・・・・□＋８＋８
　　第四周・・・・・□＋８＋８＋８
　　第五周・・・・・□＋８＋８＋８＋８
　上のように式を書くと、第一周から第五周までの間にビー玉８個の組が全部で１０組あることが分かります。ビー玉が５組で４０個ですから、１０組だと８０個となりますね。
　ここで、合計の数から８０個を取り除いてしまいましょう。すると、
　　１３８－８０＝５８＋８０－８０＝５８，
　　１４２－８０＝６２＋８０－８０＝６２
となります。この数はいったい何を意味しているでしょうか。そうです。第一周のビー玉の数□個を５組まとめると、合計が５８と６２の間にあるということです。
　□が５組あるということは、合計が５の倍数になっているということです。このことに気付きましたか。さっそく５の倍数を書き並べてみましょう。すると、
　　　５，１０．１５，２０，２５，３０，３５，４０，４５，５０，５５，６０，６５．・・・
となります。
　これまでの計算で、ビー玉の合計は５８と６２の間にあることが分かっていますから、したがって、上に並べた５の倍数の中からこの間にある数を見付けると、そうです、６０です。これで、第一周のビー玉の数が５組で６０個であることが分かりました。いかがですか。答が出るまで、あともう少しですね。
　ビー玉の合計は第一周のビー玉５組の数を足して得られる数６０と、８を１０回足して得られる数８０を足した数ですから、したがって、
　　６０＋８０＝６０＋４０＋４０＝１００＋４０＝１４０．
　これより、ビー玉が全部で１４０個あったことが分かります。答は１４０個。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２０１５．１１．２３）

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✪問題－５２✪
　正方形の図の辺上にビー玉を一周並べました。この一周を第一周として第三周まで並べると、ビー玉は４１個余（あま）りました。そこでもう一周並べようとすると１１個足りません。第一周の正方形の一辺にビー玉は何個並んでいますか。

✪解説✪
　まず、第四周めにきちんと並んだとすると、何個並んでいることになるでしょう。そうですね。４１＋１１＝４０＋１＋１０＋１＝４０＋１０＋１＋１＝５０＋２＝５２より５２個であることが分かります。次に、前回の解説をヒントに第三周に何個並んでいるか考えてみましょう。
　どうですか、第三周は第四周より８個少なくなっているのでしたね。
したがって、
　　第三周＝５２－８＝４２＋１０－８＝４２＋２＝４４個．
　こうして、順々に８個ずつ減らして行くと、
　　第二周＝４４－８＝３４＋１０－８＝３４＋２＝３６個．
　　第一周＝３６－８＝２６＋１０－８＝２６＋２＝２８個．
　はい、これで第一周にビー玉が２８個並んでいることが分かりました。さて、いよいよです。第一周の正方形の一辺に並んでいるビー玉の数を、これまでどのようにして求めていたでしょうか。
　まず、正方形の角のビー玉を２回数えてしまうミスをなくすために、４つの角からビー玉を１個ずつ取り除いてしまいましょう。すると、ビー玉の合計は、
　　２８－（１＋１＋１＋１）＝２８－４＝２０＋８－４＝２０＋４＝２４．
　これで、４つの辺に並んでいるビー玉の合計が２４個であることが分かります。この２４個を４つの組に分けると、２４＝６＋６＋６＋６となりますから、したがって、
一辺にビー玉が６個並んでいることが分かります。ところで、ここでは一辺の両端のビー玉を取り除いていましたから、これを元に戻してやると、
　　一辺のビー玉の数＝６＋２＝８．
　以上により、第一周の正方形の一辺にビー玉が８個並んでいることが分かります。答は８個．（２０１５．１１．２９）

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✪問題－５１✪
　正方形の図の辺上にビー玉を一周並べました。この一周を第一周としてその周りにビー玉を順々に第八周まで並べました。すると第八周の部分を一周するだけでビー玉を７６個使いました。第一周の部分の一周にビー玉は全部で何個並んでいますか。

✪解説✪
　前回と同じように、まず第一周めの一辺のビー玉の並び方に注目しましょう。両端のビー玉を二回数えてしまうミスを避けるために、まず端の１個を取り除いて考えます。これは前回と同様に実際にビー玉を使ったり、図を書いたりして確かめていただきたいのですが、次の第二周めの一辺のビー玉の数を第一周の数にそろえると、３個取り除くことになります。第三周めはどうでしょう。そうですね、５個です。第四周めは、７個です。
　ここで、取り除く数を整理し、ここから規則性を見付けてみましょう。すると次のようになります。
　第一周・・・１個、第二周・・・３個、第三周・・・５個、第四周・・・７個、・・・
　こうすると、見方（みかた）を変えると、一周増えるごとに角のビー玉が２個ずつ増えていることが分かりますね。１つの周に角は４つありますから、ということは、２＋２＋２＋２＝８より、一周増えるごとにビー玉が８個増えていることが分かります。
　みなさん、正しい答を得るにはどうしたらいいか分かりますか。そうです。「だったら、こうすればいいじゃないか」と自分の考えを出すことです。これはとても大切なことです。今回の場合はどうでしょう。「だったら、第八周めの数から順番に８個ずつ引いてやればいいじゃないか」となります。さっそく、ためしてみましょう。
　第八周・・・７６個．
　第七周・・・７６－８＝６６＋１０－８＝６６＋２＝６８個．
　第六周・・・６８－８＝６０＋８－８＝６０個．
　第五周・・・６０－８＝５０＋１０－８＝５０＋２＝５２個．
　第四周・・・５２－８＝４２＋１０－８＝４２＋２＝４４個．
　第三周・・・４４－８＝３４＋１０－８＝３４＋２＝３６個．
　第二周・・・３６－８＝２６＋１０－８＝２６＋２＝２８個．
　第一周・・・２８－８＝２０＋８－８＝２０個．
　どうですか。そうです。上の計算から、答は２０個です。（２０１５．１０．２６）

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✪問題－５０✪
　正方形の図の辺上にビー玉を一周並べました。この一周を第一周としてその周りにビー玉を順々（じゅんじゅん）に第五周まで並べました。すると第五周の部分を一周するだけでビー玉を６０個使いました。第一周の正方形の一辺にビー玉は何個並んでいますか。

✪解説✪
　これまでのように、第一周めの一辺のビー玉の並び方に注目しましょう。両端のビー玉を二回数えてしまうミスを避けるために、まず端の１個を取り除いて考えます。実際にビー玉や碁石（ごいし）を使ったり、あるいは図を書いて試していただきたいのですが、次の第二周めの一辺のビー玉の数を第一周の数にそろえると、３個取り除くことになります。では、第三周めはどうでしょう。そうですね。５個です。第四周めは？そうです。７個です。最後の第五周めは？そうですね。９個です。
　これで第五周めの１つの角から９個取り除くと第一周めの一辺のビー玉の数と同じになることが分かりました。ところで、第五周めの４つの辺のビー玉の数を同じにするためには、それぞれの角から９個取り除かなければなりません。したがって、取り除く数の合計は９＋９＋９＋９＝（９＋１）＋（９＋１）＋（９＋１）＋６＝１０＋１０＋１０＋６＝３６より３６個となります。第五周にはビー玉が全部で６０個ありますから、この数から３６個を取り除くと６０－３６＝（３０＋３０）－（３０＋６）＝３０－６＝（２４＋６）－６＝２４より、２４個残ることがわかります。これは４つの辺のビー玉の数の合計ですから、これを４つに分けると、２４＝６＋６＋６＋６となりますから、したがって、１つの辺のビー玉の数が６個であることが分かります。
　ところで、ビー玉を２回数えるミスを避けるために、角の１個を取り除いていました。したがって、第一周めの正方形の一辺に並んでいるビー玉の数は、得られた数に両端の角の分の２個を足して６＋２＝８より、８個となります。したがって、答は８個。（２０１５．１０．５）

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✪問題－４９✪
　正方形の図の辺上にビー玉を一周並べました。次にその外側に一周並べ、さいごにその外側にさらにもう一周並べました。これでビー玉を使って３列の状態（じょうたい）で一周することができました。この時ビー玉は全部で１５６個使いました。一番内側の１辺でビー玉を何個使いましたか。

✪解説✪
　まず一番内側の正方形の一辺に並んでいるビー玉に注目しましょう。前回と同じように、角のビー玉を２回数えるミスを避（さ）けるために、角の１個を取り除いた数を一辺の数としましょう。真ん中の２列目の一辺の数も一番内側の一辺の数にそろえると、角のビー玉は３個取り除かれます。さらに３列目の一番外側の一辺の数も一番内側の一辺の数にそろえると、角のビー玉は５個取り除かれます。取り除かれる数は、かならず図を書いて確認して下さいネ。このような問題は都立高校でよく出題されますので、ふだんから慣（な）れておきましょう。
　以上により、一番内側の一辺のビー玉の数にそろえると、１つの角からビー玉が１＋３＋５＝９より９個取り除かれることが分かります。
　ところで、図から明らかなように角が４つありますから、したがって、全部で９個を４回取り除くことになります。９＋９＋９＋９＝（９＋１）＋（９＋１）＋（９＋１）＋６＝１０＋１０＋１０＋６＝３６より３６個取り除かれますから、したがって、残っているビー玉の数は１５６－３６＝１２０＋３６－３６＝１２０より１２０個となります。
　ここで、４つの角からビー玉を取り除いた後の図に注目してみましょう。すると、一番内側の一辺のビー玉の個数と同じ個数の辺が全部で１２本あることが分かります。したがって、残っている１２０個を１２のグループに分けると、
　１２０＝１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０＋１０
より、１辺のビー玉の数が１０個であることが分かります。
　さいごに、注意しましょう。２回数えてしまうミスを避けるために、角の１個を取り除いて計算していましたネ。一辺には角が２つありますから、したがって、１０＋２＝１２より、内側の一辺にはビー玉が１２個並んでいることが分かります。
答は１２個。（２０１５．９．１９）

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✪問題－４８✪
　正方形の図の辺上にビー玉をすきまなく一周並べたところ、ビー玉は全部で
４４個使いました。正方形の一辺にビー玉を何個並べましたか。

✪解説✪
　皆さん、いかがですか。はたして、皆さんはどのような方法を考えましたでしょうか。ここでは、角の部分での重なりをなくするために、まず、４つの角から１個ずつ取り除いてしまいましょう。これで合計４個取り除くことになりますから、辺上にあるビー玉は４４－４＝４０より４０個となります。
　この４０個のビー玉を４つの組に分けると、４０＝１０＋１０＋１０＋１０より１組が１０個であることが分かります。１つの辺のビー玉の数を求める時は取り除いてある両端の２個を戻してやらなければなりません。したがって、１つの辺のビー玉の数は１０＋２＝１２より、１２個であることが分かります。答は１２個．（２０１５．９．６）

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✪問題－４７✪
　長方形の図の辺上にビー玉を並べました。すると、よこの辺のビー玉がたての辺のビー玉より７個多くなっていました。また、よことたてのビー玉の数を合わせると３５個ありました。ビー玉はよことたてにそれぞれ何個並んでいましたか。ただし、ビー玉はよことたての一辺ずつに並んでいるものとします。

✪解説✪
　それではまず、たてとよこのビー玉の数の数え方を考えてみましょう。たての時もよこの時も端から端まで数えますので、たての辺とよこの辺が交わる角の所のビー玉を２回数えています。ところが、全部の数を数える時は角のビー玉を１回しか数えていません。このことに気付きましたでしょうか。
　この問題を解決するためにはどうしたらいいでしょうか。そうですネ。角の所のビー玉１個を取り除いて重なりをなくしてしまいます。これでここで使っているビー玉の合計が３４個であることが分かりました。しかし、これでも問題が出て来ます。それはビー玉の数をたてとよこに数えるとき、やはり角の１個を２回数えてしまうことです。どうしたらこの問題は解決するでしょう。そうですね。角のビー玉を失（な）くしてしまうことです。これでビー玉の合計が３３個となりました。
　ただここでまた疑問が出て来ます。それは「たてとよこのビー玉の数の差（さ）はどうなっているのか」ということです。ここで注意しなければならないことがあります。それは、たてとよこから同じ数のビー玉を取り除く場合、差はいつも同じだということです。この問題では角の１個を取り除くということは、たてとよこからビー玉を１個ずつ減らすことになりますので、差は７個のままなのです。
　以上のことから、問題を整理すると、たてとよこのビー玉の数の合計が３３個で、よこの方がたてより７個多くなっている、となります。それではいよいよ問題を解いてまいりましょう。
　よこのビー玉の数がたてより７個多くなっていますから、よこの辺からビー玉を７個取り除いてしまいましょう。これでたてとよこの辺のビー玉の数が同じになりました。また、よこから７個取り除きましたので、合計もその分だけ少なくなります。したがって、３３個から７個を取り除くと、３３＝２６＋７ですから、合計は２６個となります。これはたての辺に並んでいるビー玉が２組で２６個であることと同じですから、したがって、２６＝１３＋１３より、たて１組のビー玉の数が１３個であることが分かります。よこはこれより７個多いですから、したがって、１３＋７＝１０＋３＋７＝１０＋１０＝２０より、よこのビー玉が２０個であることが分かります。
　ところで、ここでは、角の１個を取り除いて計算していますので、それぞれの辺のビー玉の数を求める時は得られた値に１を足さねばなりません。したがって、たてのビー玉は１３＋１＝１４より１４個、よこのビー玉は２０＋１＝２１より２１個となります。以上により、答は、たて１４個，よこ２１個．（２０１５．８．２０）

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✪問題－４６✪
　長方形の図の辺上とその内部にビー玉を並べました。すると、周囲のたてが□個、よこが１６個となりました。また、一番外側の一周の数を数えるとビー玉は６８個ありました。さて、□に入る数はいくつですか。また、ビー玉は全部で何個ありますか。

✪解説✪
　前回と同じようにまず長方形を描き、たて、よこの辺の上にビー玉をそれぞれ□個、１６個置きましょう。今度は長方形の角（かど）の部分でビー玉が重ならないように、よこに並べたビー玉の両端から１個ずつ取り除いてみましょう。これで角でビー玉が重なる問題は解決しました。
　ビー玉はたてに□個、よこは両端の重なりを取り除いて１４個並んでいることになりますから注意しましょう。したがって、長方形の辺上に並んでいるビー玉の数の合計を式で表すと（□×２＋１４×２）個。この数が６８個となりますから、したがって、式は次のようになります。

　　□×２＋１４×２＝６８．

　ここから、□に入る数を求めるための準備（じゅんび）となります。
（１）まず、これまでのように長方形を描き、たての辺の長さを□、よこの辺の長さを２とします。この時の面積として、この長方形の中に△を書きましょう。
（２）次に５ｃｍほどの長さの直線を引き、この直線の端から端までを△とします。（３）１４×２は１４を２回足すことと同じです。ここで、１４＋１４をさらに１０＋４＋１０＋４と分解して、１０と１０、４と４をまとめると、この答が２８であることが分かります。
（４）（２）の△の直線の右側からさらに（３）で得られた２８の数の分だけ延長しましょう。△の部分の長さと、２８の部分の長さを合わせた直線の左端から右端までの長さの合計を６８とします。これで準備完了（かんりょう）です。
　それでは、まず（４）から、△の値を求めます。これは６８から２８を取り除くことによって求められます。６８は４０と２８を合わせたものですから、したがって、△＝４０であることが分かります。次に、（１）から、□×２＝４０となることが分かります。この式は□を２回足すと４０になる、ということを意味しています。ここで、４０＝２０＋２０ですから、したがって、□＝２０となります。
　これまでの計算から、ビー玉がたてに２０個、よこに１６個並んでいることが分かりました。これは２０個のビー玉がよこに１６列（れつ）並んでいることと同じです。１０列で２００個、５列で１００個、残りの１列で２０個ですから、これらを足して、ビー玉が全部で３２０個あることが分かります。したがって、答は、□＝２０，ビー玉の合計＝３２０個．（２０１５．７．１９）

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✪問題－４５✪
　ビー玉を長方形の図に沿（そ）ってたてに□個、よこに１５個並（なら）べました。すると一回りで５２個のビー玉を使いました。さて、□に入る数はいくつですか。

✪解説✪
　まず長方形を描（か）き、たて、よこそれぞれの辺の上にビー玉を置いてください。ビー玉がない場合は代わりに○を描いてもかまいません。描き終わりましたら、図をよく見て、そして発見したことを「あ、ここがこうなっているんだ」というふうに言葉にしてみましょう。さて、どのようなことが分かりますか。そうです。長方形の角にビー玉が２個重なっていることです。これはとても大切な発見です。
　それでは、次に、図から発見したことを基（もと）に、自分の考えを発展（はってん）させてみましょう。たとえば、ここでは考えは次のようにまとめられます。

　たてに□個、よこに１５個並べると、４つの角でビー玉が１つずつ多くなっている。だから、４つの辺のビー玉の数を全部足して合計を（□＋□＋１５＋１５）とした時は、この式から余分（よぶん）の４個を引いた数が５２でなければならない。

　いかがですか。これを式で表してみましょう。すると、

　　　□×２＋１５×２－４＝５２．

　さて、まず次の順序で図を描いてまいります。
　（１）まず□×２の部分の図として、適当な大きさの長方形を描きましょう。この長方形のたての長さをビー玉□個、よこの長さをビー玉２個とします。この時のビー玉の合計を△個とします。この数は長方形の面積となります。
　（２）次に、適当な長さの直線（正確には「線分（せんぶん）」と言います）を引きます。この直線の端から端まで線を引き、ここにビー玉の個数である△を記入します。
　（３）１５×２は１５個のビー玉の組が２組あることを意味していますから、したがって、１５＋１５を１０＋１０＋５＋５と分解（ぶんかい）し、そして５と５をまとめて１０とします。以上の計算から、１５×２が３０であることが分かります。
　（４）次に、（２）の直線を右方向にさらに少し伸ばし、この部分の端から端までにビー玉が３０個並んでいるものとします。そして、ビー玉△個と３０個を合わせた数を意味する直線の端から端までの数を○個とします。
　（５）さいごに、（４）の直線からビー玉を４個取り除き、残った長さの部分に「ビー玉５２個」と書きましょう。これで図は完成しました。
　お待たせしました。皆さん、もう答が出ていますでしょうか。まず、（４）から○の数を求めましょう。これは図より５２と４を合わせたものであることが分かります。したがって、○＝５２＋４＝５６．次に、（４）から、△の数を求めます。これは図より、５６から３０を取り除いたものであることが分かります。５６＝３０＋２６と分解出来ますから、したがって、３０を取り除いて、△＝２６．さいごに（１）より、□の値は２６÷２を計算することによって求められることが分かります。２６÷２は２６個のビー玉を２個ずつ分けた時の組の数と同じです。２個の組が１０組で２０個、あと３組で６個ですから、１３組で合計が２６個であることが分かります。したがって、□＝１３より、答は１３．
　進み方がかなり遅いと思われるかも知れませんが、それほど内容の濃（こ）い勉強をしていることにお気付きください。何しろ、この問題を少し変えるだけで「都立高校」でよく出題される皆さんのもっとも苦手（にがて）なパターンの問題になるくらいなのですよ。ジックリ、深く考えながら勉強しましょう。（２０１５．６．２２）

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✪問題－４４✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　３７－５×（１５＋□×３）÷１２＝１７

✪解説✪
　それでははじめましょう。
　（１）まず、□×３の図を書きましょう。これは長方形の図で、たての長さとしてビー玉を□個、よこの長さとしてビー玉を３個置き、そしてこの長方形の面積としてビー玉を△個置きます。
　（２）次に、（１５＋△）です。まず適当な長さの直線を引き、この直線の端から端まで線を引き、この直線の長さとしてビー玉を１５個置きます。また、この直線を右側にさらに伸ばして、この部分の長さを△個とします。この１５個と△個を合わせた長さを○個とします。
　（３）次に、５×○です。ここでも、まず長方形の図を書き、たての長さとしてビー玉を５個、よこの長さとしてビー玉を○個置き、そしてこの長方形の面積としてビー玉を☆個置きます。
　（４）次に、☆÷１２です。長方形の図から「たて＝面積÷よこ」であることが分かりますから、したがって、長方形の図の中に面積としてビー玉☆個、よこの長さとしてビー玉を１２個置き、さいごにたての長さとしてビー玉を★個を置きます。
　（５）次に、３７－★＝１７です。まず適当な長さの直線を引き、この直線の長さとしてビー玉を３７個置きます。この直線からビー玉★個分を取り除き、残った長さの部分にビー玉を１７個置きましょう。これで図は完成しました。
　それでは図を見ながら計算してまいりましょう。
　まず（５）から、★の値はビー玉３７個から１７個を取り除くことによって求められます。３７個は２０個と１７個に分けられますから、したがって、★は２０個。
　次に（４）から、長方形のたての長さとしてビー玉を２０個並べていたことが分かります。よこの長さとしてビー玉が１２個並んでいますから、したがって、面積としての☆の数は？そうですね、２０個のビー玉を１０組と２組に分けて、合計は２００個と４０個合わせたものとなります。したがって、☆は２４０個。
　次に（３）です。（４）から、長方形の面積として中にビー玉が２４０個入っていることが分かります。この数をたてのビー玉の数を５個にして並べ替（か）えたら全部で○個の組が出来たと考えましょう。５個の組が１０組で５０個、２０組で１００個、４０組で２００個です。残りはあと４０個です。２組で１０個、４組で２０個ですから、したがって、８組で４０個ですね。以上により、２４０個のビー玉をたてに５個、よこに４８個並べて出来た長方形であることが分かります。これより、○は４８個。
　次に（２）です。求める△の数はビー玉４８個からビー玉１５個取り除いたものであることが分かります。４８個を１５個と３３個に分け、そして１５個を取り除きましょう。したがって、△は３３個。
　さいごに（１）です。図から３３個のビー玉をたてに□個、よこに３個並べていることが分かります。この図をヒントにして、よこの数３個を一組にすると、この組が全部でいくつできるか考えてみましょう。５組で１５個、１０組で３０個で、残り３個の１組ですから、したがって、全部で１１組出来ることが分かります。したがって、□は１１。答．□＝１１．＾（２０１５．６．３）

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✪問題－４３✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　３１－｛５７÷（３１－□）＋３１｝÷２＝１４

✪解説✪
　それでははじめましょう。
　（１）まず、（３１－□）から図を書きましょう。ビー玉を３１個並べ、この列の右端から真ん中あたりまで線を引き、この部分を□個とします。また、この列の残りの部分にも線を引き、この部分を△個としましょう。
　（２）次に、（５７÷△）です。これは「たて＝面積÷よこ」に当てはめて考えましょう。長方形の図で、５７（個）を中に書いて「面積」とし、よこの端から端まで線を引いてこの部分を△個とします。それから、やはりたての端から端まで線を引いて、この部分を☆個とします。
　（３）次に、（☆＋３１）です。まず、５ｃｍほどの長さの直線を引き、この直線の端から端までを☆個とします。それから、この直線の右端からさらに右に向かってビー玉を３１個並べて行きます。ここで、直線の左端からビー玉の右端まで線を引き、この部分を★個とします。
　（４）次に、（★÷２）です。これも「たて＝面積÷よこ」に当てはめて考えます。長方形の図を書いて、「面積」として★を書き、よこの端から端まで線を引いて、この部分を２個とします。それから、たての端から端まで線を引いて、この部分を●個とします。
　（５）さいごに、（３１－●＝１４）を考えます。まず、ビー玉を一列に３１個並べます。次に、ビー玉の右端から真ん中あたりまで線を引き、この部分を●個とします。そして、残りの部分の端から端まで線を引いて、この部分を１４個とします。
　これで図は完成しました。それでは計算です。
　まず、（５）から●の値はビー玉３１個からビー玉を１４個取り除くことによって求められることが分かります。したがって、●は１７個です。
　次に（４）から、たてにビー玉が１７個ずつ、２列に並んでいることが分かります。これを１０個２組、７個２組に分け、さらに７個２組を１０個と４個に分けます。これで１０個が３組で残りが４個となりました。したがって、★は３４個です。
　次に（３）から、☆はビー玉３４個からビー玉３１個を取り除いた値であることが分かります。したがって、☆は３個です。
　次に（２）から、長方形のたてにビー玉を３個、よこに△個並べたら、全部で５７個になったことが分かります。５７個のビー玉を３個ずつに分けて行くと、全部で１９組出来ますから、したがって、△は１９個です。
　さいごに（１）から、ビー玉３１個からビー玉１９個を取り除いた値が□であることが分かります。３１個を１９個と１２個に分け、これから１９個を取り除くと、１２個が残りとなります。したがって、□は１２です。答．□＝１２．（２０１５．５．１６）

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✪問題－４２✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　（９７－□）÷９＝８

✪解説✪
　それでははじめましょう。まず、カッコの中に注目し、図を書きましょう。横一列にビー玉を９７個並べます（適当に丸を描いて、「ビー玉を９７個並べた」と書いてもかまいません）。ビー玉の右端から左に向かって真ん中あたりまでを□個とします。そして残りの部分を△個とします。すると、△÷９＝８の式が得られます。これまで次の式を何回か使っています。

　たて＝面積÷よこ．

　この式に、△÷９＝８を対応させるとき、長方形を書いて、これにあてはめて△を面積、横の長さを９個，たての長さを８個としましょう。すると△＝９×８となり、これより、９個を一組としたビー玉の組が８組あることが分かります。１組の９個のビー玉をそれぞれ他の組に１個ずつ入れて１組１０個のビー玉の組に直してみましょう。すると、１組１０個の組が７組出来て、２個あまることが分かります。これから、△が７２個であることが分かります。
　次に、９７個のビー玉の下の△の部分に７２個のビー玉を並べましょう（この場合も△の部分に「ビー玉７２個」と書いてもかまいません）。すると、□は９７個のビー玉から７２個のビー玉を取り除いた残りであることが分かります。したがって、９７個のビー玉を７２個と２５個のビー玉に分け、そして、この中の７２個を取り除いてみましょう。残った数が□ですから、したがって、答は２５となります。（２０１５．５．４）

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✪問題－４１✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　（５１－□）×７＝５６

✪解説✪
　それでははじめましょう。まず、カッコの中に注目（ちゅうもく）し、図を書きましょう。横一列にビー玉を５１個並べます。次に、このビー玉の右端から真ん中あたりまでを□とします。そして、残りの部分を△としましょう。
　次に、適当な大きさの長方形を書きます。この図のたてに△を対応させ、よこにビー玉を７個並べます。さいごに、この長方形の面積として、中にビー玉を５６個並べます。ただし、これを全部入れることは大変ですので、「この中にビー玉が５６個入っている」などと書いたりして、工夫してくださいネ。
　それでは図を道しるべにしながら計算しましょう。まず、△の値ですが、これはたての長さを求めることと同じですから、前回の考えを利用すると、式は次のようになります。

　△（たて）＝面積÷よこ＝５６÷７

　５６個のビー玉を７つの組に分けて考えると、１つの組に８個入ることになりますから、したがって、△＝８．
　次に、□ですが、これは５１個のビー玉から△個のビー玉を「取り除く」ことによって得られることが図から分かります。「取り除く」とは「引く」ことですから、したがって、求める式は

　□＝５１－△＝５１－８．

　この答は、５１個のビー玉を４３個と８個に分け、ここから８個を取り除くことによって求められます。以上により、□＝４３．答は４３です。（２０１５．４．２２）

✪問題－４０✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　□×６＝１８

✪解説✪
　上の式をよく見てください。これは何を計算する時に使う式でしょうか。そうですね。面積（めんせき）を求める時に使う式です。それではさっそく長方形の図をノートに書いてみましょう。そして、たての直線の端から端までを□としましょう。次に、よこの直線の端から端までの間にビー玉を６個並べ、さいごに、この長方形の中に面積としてビー玉を１８個入れます。これで準備が出来ました。
　さて、上の式は、たとえば、「１つの組に□個のビー玉が入っていて、それを６組合わせたら、全部で１８個になった」ということを意味しています。とすると、□は１８個のビー玉を６つの組に分けることによって求められることが分かります。
　この考えを、「たて×よこ＝面積」の式に対応（たいおう）させて考えると、上の式の□の値が次のようにして求められることが分かります。

　□（たて）＝面積÷よこ＝１８÷６＝３．

　以上により、□に入る数が３であることが分かります。答は３です。

　＜補足（ほそく）＞上の文章中に「対応（たいおう）させる」という言葉が出て来ました。実は、この言葉は私たちが現在行っている「思考実験」の中心となるもので、大切な意味を持っています。まずはこの言葉を覚えてください。これを知っているだけで、あなたはすでに「科学者の卵」なのですよ。（２０１４．４．１０）

✪問題－３９✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　□×４＝１２

✪解説✪
　問題の式を見て、答を出せると思うのは、どのような時でしょう。そうですね。それは「こうすればいいじゃないか」と自分の考えを出せている時です。たとえば、上の式の意味を次のように解釈（かいしゃく）してみましょう。

　１つの組に□個のビー玉があります。その組を４つ合わせると、ビー玉は全部で１２個になりました。

　つまり、上の式の場合、「この問題は１つの組にビー玉が何個入っているかと考えれば解ける」などといった考えが自分から出せるから、答が出て来るのです。それではさっそく実験です。まず箱を４個用意し、そこに１２個のビー玉を１個ずつ順番に入れて行きましょう。すると、１つの箱にビー玉が３個入ることが分かります。
　この実験から、１２個のビー玉を４つの組に分ければ、□に入る数が求められることが分かります。「分ける」とは「割る」ことですから、したがって、

　□＝１２÷４＝３．

　これより、答は３です。（２０１５．４．５）

✪問題－３８✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　３２－□＝１７

✪解説✪
　このあたりの問題になると、問題を本当に分析して考えているかどうかがよく分かります。簡単な問題を難しく考えて解くと、ミスなどせず、これほど簡単な問題はありません。さっそく解いてみましょう。
（１）まずはじめに、一段目にビー玉を３２個並べます。
（２）次に、二段目は一段目と右端をそろえて、左に向かって直線を適当な長さに引き、この直線の端から端までを□とします。
（３）さいごに、一段目のビー玉の下の部分で直線が引かれていない所にビー玉を１７個並べましょう。もしこの１７個のビー玉がきちんと収まらないようでしたら、直線を短くしたりして工夫してくださいネ。これで準備が出来ました。
　ここで図を見ると（前回もそうですが、私たちはこれからビー玉と直線を使って出来た全体の光景（こうけい）を図と呼びたいと思います）、一段目と二段目の左側からそれぞれビー玉を１７個ずつ「取り除く」ことによって□の数が求められることが分かります。そうです。「取り除く」とは「引き算」をすることでしたネ。したがって、

　□＝３２－１７

　残ったビー玉の数を数えて、そうです。答は１５です。（２０１５．３．２９）

✪問題－３７✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　□－７＝１３

✪解説✪
　それではまた問題を「難しく」考えながら分析（ぶんせき）してみましょう。
（１）まず、一段目に５ｃｍほどの長さで直線を引き、この直線の端から端までを□とします。
（２）次に、二段目に直線から取り除く分の７に相当（そうとう）するビー玉７個を直線の右端をそろえて左に向かって並べましょう。
（３）さいごに、残っている直線の下にビー玉を１３個並べましょう。もし、直線が短いようでしたら、この１３個がきちんと収まるように直線を適当に伸ばしてくださいネ。これで準備が出来ました。
　ここで図（ず）を見ると、□の数がビー玉７個と１３個を「足した数」であることが分かります。したがって、答を求める式は次のようになります。

　□＝７＋１３

　ビー玉を端から端まで数えて、答は２０です。（２０１５．３．１９）

✪問題－３６✪
　次の式の□に当てはまる数を求めましょう。

　□＋５＝１６　

✪解説✪
　それでは、私たちの「簡単な問題を難しく考えて」解く訓練をはじめましょう。　（１）まず、３ｃｍほどの長さで直線を引き、この直線の端から端までを□とします。
　（２）次に、この直線の右端からビー玉を５個真っ直（まっす）ぐに並べます。
　（３）さいごに、（２）の直線とビー玉の下に二段目として、ビー玉１６個を一段目の左端と右端をそろえて並べましょう。もし一段目の全体の長さが短いようでしたら、直線の部分を伸ばして１６個のビー玉がきちんと収（おさ）まるように工夫してくださいネ。これで準備が出来ました。
　それでは答を求めましょう。一段目と二段目のビー玉を右端から５個ずつ取り除きます。残ったビー玉の数が□に入る数です。「取り除くこと」は「引くこと」と同じですから、したがって、答を求める式は次のようになります。

　□＝１６－５

　残りのビー玉の数を数えて、答は１１です。（２０１５．３．９）

✪問題－３５✪
　次の式の□に当（あ）てはまる数を求めましょう。

　６＋□＝１０

✪解説✪
　多くの方は「こんなの簡単（かんたん）」とおっしゃって、サッと解（と）いてしまったことでしょう。しかし、私たちのこれからの目的（もくてき）は「やさしい問題を難（むずか）しく考えて」解く訓練（くんれん）をすることなのです。それではさっそく始めましょう。
　（１）まず、はじめに、ビー玉を横（よこ）に６個並（なら）べます。ビー玉がない場合（ばあい）は丸（まる）を６個並べて書いてくださいネ。
　（２）次に、（１）のビー玉の横に直線（ちょくせん）を２ｃｍ（センチ）ほどの長さで引き、その端（はし）から端までを□とします。
　（３）さいごに、（２）のビー玉の下に、左端（ひだりはし）をそろえて、ビー玉を１０個並べます。一段目（いちだんめ）の直線の右端（みぎはし）と二（に）段目のビー玉の右端とが一致（いっち）するように工夫（くふう）してください。もし直線が短（みじか）いようでしたら、伸（の）ばしてくださいネ。これで準備（じゅんび）が出来ました。
　それでは答を求めましょう。一段目と二段目のビー玉を左端から６個ずつ取り除（とりのぞ）きます。残ったビー玉の数が□に入る数です。この数は１０個のビー玉から６個のビー玉を取り除くことによって得（え）られます。「取り除くこと」は「引くこと」と同じですから、したがって、答を求める式は次のように表されます。

　　□＝１０－６

　答は４です。（２０１５．２．２７）

✪問題－３４✪
　ある一定の割合でわき出す泉に、２００Ｌの水がたまっています。もし、１分間に１５Ｌの水をくみ出すことが出来るポンプを２台同時に使ってこの泉の水をくみ出すと、泉を空にするのに１０分掛かります。この泉は１分間に何Ｌの水がわき出していますか。

✪解説✪
　今回はおさらいとして、ビー玉を一部にだけ使って問題を解いてみましょう。まず、「バイパス」を使って、わき水が泉に入らないように工夫しているものとしましょう。するとポンプが２００Ｌの水を１０分でくみ出していることが分かります。
　ここで２００Ｌの水を２００個のビー玉に置き換え、これを１０のグループに分けてみましょう。すると１つのグループに２０個のビー玉が入っていることが分かります。このことから、ポンプが１分間に２０Ｌの水をくみ上げていることが分かります。
　ところで、実際には２台のポンプで１分間に合計３０Ｌの水をくみ上げています。したがって、３０－２０＝１０より、１分間に水が１０Ｌわき出していて、これがバイパスを通って外に出ていることが分かります。答は１０Ｌです。（２０１５．２．１９）

✪問題－３３✪
　いつも３３０Ｌの水を湛えている小さな泉があります。この泉からは１分間に１５Ｌの水がわき出ています。ここから水をくみ出すため、はじめ１分間に９Ｌの水をくみ出すポンプを３台使い、途中から１分間に１２Ｌの水をくみ出すポンプを２台使いました。すると、くみ出し始めて３０分で泉は空になりました。さて、水をくみ出し始めて何分後にポンプを切り替えましたか。

✪解説✪
　いつものように、ビー玉を使った問題に置き換えてみましょう。すると、３３０個のビー玉が入った箱の中に１分間に１５個ずつビー玉が入って来ていることになります。
　ところで、１分間に９個ずつ外に出す穴が３つ、１２個ずつ外に出す穴が２つありますから、まず、それぞれの穴を一まとめにして、１分間に２７個ずつ外に出る穴と２４個ずつ外に出る穴に作り直してしまいましょう。次に、この箱には１分間に１５個のビー玉が入って来ていますから、これが中に入らないように、それぞれの穴の中に「バイパス」を通して、そこから直接外に出してしまいます。このため、新しく作り直した穴からは、この１５個分を引いて、１分間にそれぞれ１２個と９個が外に出ることになりますから注意してくださいネ。
　さて、箱の中のビー玉は３０分で外に出てしまいますから、まず１分間に１２個ずつ３０分間出し続けたものとしましょう。２分で２４個、３分で３６個、４分で４８個、５分で６０個外に出ますから、１０分だと６０個を２回足して１２０個となります。１２０個を１００個と２０個のまとまりに分けると、３０分では１００個が３つ、２０個が３つ出来ますから、したがって、これらを全部足して、３６０個が外に出ることが分かります。しかし、箱にはもともと３３０個しか入っていませんから、３６０個－３３０個＝３０個より、３０個だけ多く外に出てしまっていることが分かります。
　ここで、１分間に１２個から３個を引いて、ビー玉が１分間に９個だけ外に出る穴を通るようにします。３０個を減らすために、何回３個ずつ引けばいいでしょうか。そうですね。2回で6個、3回で9個、４回で1２個、5回で15個、・・・と数えて行くと、10回で30個となります。このことから、３個ずつ１０回引いて、この回数だけビー玉が１分間に９個出る穴を通っていたことが分かります。つまり、９個出る穴からビー玉が１０分間外に出ていたわけです。したがって、はじめの２０分間は１分間に１２個ずつ、残りの１０分間は１分間に９個ずつ外に出ていました。
　それでは、泉の問題に戻ります。すると、水をくみ始めて２０分後にポンプを切り替えていたことが分かります。答は２０分後です。（２０１５．２．１）

✪問題－３２✪
　いつも１５０Ｌの水を湛えている小さな泉があります。この泉からは１分間に１５Ｌの水がわき出ています。１分間に６Ｌの割合で水をくみ出すポンプを使って泉を空にしたいと思います。ポンプは最低何台必要でしょうか。また、この時、水をくみ始めてから何分後に泉は空になるでしょうか。

✪解説✪
　それでは、いつものように、泉の問題をビー玉の問題に置き換えてみましょう。すると、ビー玉が１５０個ある箱の中に、ビー玉が１分間に１５個ずつ入って来ていることが分かります。まず、このビー玉を「バイパス」を作って中に入らないようにしましょう。
　ポンプの代わりに１分間に６個だけ外に出る穴を作ると、２つでは１２個、３つでは１８個となります。このことから、１５個のビー玉が中に入らないようにするためには、穴が最低３つ必要であることが分かります。
　穴が３つですと、１分間に穴から１８個のビー玉が外に出ていくことになりますね。箱に入って来るビー玉は１分間に１５個ですから、したがって、まだ１分間に３個だけ外に出せることが分かります。さっそく、１５０個入っている箱の部分に１分間に３個だけ外に出せるように穴を開けましょう。
　１分間に３個ずつビー玉を外に出して行くと、１０分間で３０個になります。このことから、２０分間で６０個、３０分間で９０個、４０分間で１２０個、５０分間で１５０個となります。つまり、１５０個のビー玉が全部外に出るのに５０分掛かることが分かります。
　したがって、問題を泉の問題に戻すと、ポンプは最低３台必要で、泉が空になるのに５０分掛かることが分かります。答は３台で５０分です。（２０１５．１．１７）

✪問題－３１✪
　いつも２００Ｌの水を湛えている小さな泉があります。この泉からは１分間に１５Ｌの水がわき出ています。１分間に６Ｌの割合で水をくみ出すポンプを使って泉を空にしたいと思います。さて、ポンプは最低何台必要でしょうか。

✪解説✪
　皆さん、明けましておめでとうございます。今年も「考え方」をのんびり楽しみながら問題を解いていきましょうネ。さて、上の問題をどのようにして解きましたか。これまでと同じように、ビー玉を使った問題に直して考えてみましょう。
　まず、２００個のビー玉が入っている箱の中に、ビー玉が１分間に１５個ずつ入って来ていると考えましょう。ここで、「バイパス」を使って箱の中にビー玉が入らないように工夫します。「ポンプ」を「穴」に置き換え、ここからビー玉が１分間に６個ずつ外に出て行くとしましょう。すると、「バイパス用」の「穴」を３つ作ると、ここから合計で1分間に１８個ずつ外に出て行くことになります。
　ところで、「バイパス」を通るビー玉は１分間に１５個です。つまり、１分間に３個だけ通る余裕（よゆう）があるわけです。そうですね、この１分間に３個だけ通れる「穴」を２００個が入っている「箱』に作ってやりましょう。こうすると、２００個のビー玉が少しずつ減って、箱がかならず空になることが分かりますね。ということで、答は３台となります。（２０１５．１．４）

✪問題－３０✪
　いつも９０Ｌの水を湛えている小さな泉があります。ここから１分間に１２Ｌの水がわき出ています。この水をポンプ３台でくみ出したら泉は３０分で空になりました。ポンプ１台で１分間に何Ｌの水をくみ出しましたか。

✪解説✪
　それでは、「バイパス法」を使って問題を解いてみましょう。今回もこれまでと同じように、（水）を（ビー玉）、（Ｌ）を（個）、（泉）を（箱）、（ポンプ）を（穴）に置き換えて、ビー玉の問題として考えたいと思います。
　箱の中に１分間に１２個の割合で入って来るビー玉を「バイパス」を使って、中に入らないようにすると、箱の中には９０個のビー玉があるだけです。これが３０分でなくなりますから、１分を１箱として箱を３０個用意し、それぞれの箱に９０個のビー玉を分けて入れて行くと、１箱に３個が入ることが分かります。つまり、箱からビー玉が１分間に３個ずつ外に出ているわけです。ところで、ビー玉は「バイパス」を使ってすでに１分間に１２個ずつ外に出ていますから、したがって、ビー玉は実際には１分間に１５個ずつ外に出ていることになります。
　この１５個のビー玉が３つの「穴」から出て行くわけですから、１５個を３つのグループに分けると、１つのグループが５個になります。つまり、ビー玉は１つの
「穴」から１分間に５個ずつ外に出ていくことが分かります。
　ここで、またもとの泉の問題に戻ると、１台のポンプが１分間に５Ｌの水をくみ上げていることが分かります。答は５Ｌです。（２０１４．１２．２９）

✪問題－２９✪
　いつも９０Ｌの水を湛えている小さな泉があります。ここから１分間に１２Ｌの水がわき出ています。この泉の水をポンプ３台でくみ出したら泉は３０分で空になりました。ポンプ１台で１分間に何Ｌの水をくみ出しましたか。

✪解説✪
　前回と前々回は「バイパス」を使って問題を解きましたが、今回はこの方法を使わないで解いてみましょう。まず、これまでと同じように、「ビー玉」の問題に置き換えて考えます。
　箱の中にビー玉が１分間に１２個ずつ入って来ていますから、５分だと６０個、１０分では１２０個、１５分だと１８０個、２０分では２４０個、２５分では３００個、３０分では３６０個となります。もし、ビー玉が３つの穴から外に出ていないとすると、３０分後にはこれまで箱にあった９０個と合わせて全部で４５０個になっていますね。
　次に、この４５０個のビー玉を３つの穴の前に分けて置いてみましょう。まず、１００個ずつ分けると、１５０個残ります。さらに、この残りを５０個ずつに分けてそれぞれの穴の前に置きます。これでそれぞれの穴の前に１５０個のビー玉が並んでいることになりますね。
　この１５０個のビー玉が穴から３０分で外に出て行くわけです。ここで、１分ごとに３０個の箱を作り、この中にビー玉を１個ずつ入れ行ってみましょう。さて、１つの箱にビー玉が何個入っていますでしょうか。そうです。５個です。以上の計算によって、ビー玉が１つの穴から１分間に５個出ていることが分かります。
　それでは、泉の問題に戻りましょう。するとポンプ１台で１分間に５Ｌの水をくみ出していることが分かります。答は５Ｌです。（２０１４．１２．２３）

✪問題－２８✪
　いつも２０００Ｌの水を湛えている泉から水が１時間に２００Ｌわき出ています。この泉から１時間に２５０Ｌずつくみ出し始めましたが、途中でエンジンが止まってしまいました。そこで１時間に２７０Ｌくみ出すポンプに切り替（か）えたところ、泉は３０時間で空になりました。水をくみ始めてから何時間後にエンジンが止まりましたか。ただし、ポンプを交換する時間は考えないことにします。

✪解説✪
　まず、いつものように「ビー玉」を使った問題に置き換えてみましょう。２０００個のビー玉が入った箱に１時間に２００個ずつビー玉が入って来ていますので、前回お話しましたように、「バイパス」を使って、この２００個が箱の中に入らないようにしてしまいます。これ専用のコースを作ったことになりますので、このため、１時間に２５０個と２７０個出て行く穴からは５０個と７０個のビー玉しか出て行かないことになりますよ。
　次に、箱の中のビー玉２０００個が３０時間で全部外に出て行きますから、ここで３０時間の間ずっと１時間に５０個ずつ穴から出ていたとしましょう。すると、１０時間で５００個、２０時間で１０００個、３０時間で１５００個となります。これだと、５００個がまだ箱の中に残っていることになりますね。
　ここで、１時間に２０個ずつ増やしてみましょう。こうして１回増やすたびに、１時間に７０個ずつビー玉が穴から出て行ったことになりますので注意してください。１０時間で２００個、２０時間で４００個となります。あと１００個ですね。１時間で２０個、２時間で４０個、３時間で６０個、４時間で８０個、５時間で１００個となりますから、したがって、２５時間掛けて、１時間に７０個ずつビー玉が穴から出て行ったことが分かります。全部で３０時間掛かっていましたから、１時間に５０個ずつビー玉が外に出ていたのは５時間であることが分かります。
　以上により、泉から１時間に２５０Ｌずつ水をくみ出し始めて５時間経った時にポンプのエンジンが止まってしまったことが分かります。答は５時間です。（２０１４．１２．１０）

✪問題－２７✪
　いつも２０００Ｌの水を湛（たた）えている泉から水が１時間に２００Ｌわき出ています。この泉から水をポンプで１時間に２５０Ｌずつくみ出したとき、泉は何時間で空になるでしょうか。

✪解説✪
　それでは、いつものように、「泉」を「箱」に、「水」を「ビー玉」に、「ポンプで水をくみ出す」を「ビー玉を穴から外に出す」に置き換え、さらに単位の「Ｌ」を「個」に置き換え、問題を解いてみましょう。
　まず、この箱には１時間に２００個のビー玉が入って来ます。この実験では、箱から１時間に２５０個外に出る分の中から、この２００個を直接外に出す専用（せんよう）の「穴」（これから、これを「バイパス」と呼びたいと思います。とても役に立つアイデアですよ）を作って箱の中に入らないようにします。このため、箱の中の２０００個のビー玉が外に出る穴からは１時間に５０個ずつしか外に出なくなりますので、注意してくださいネ。
　それでは、いよいよ、１時間に５０個ずつだと２０００個が外に出るのにどれだけ時間がかかるか考えましょう。まず、ビー玉１組を５０個として、これを１０組まとめると５００個となります。これを１まとまりとすると、２まとまりで１０００個、３まとまりで１５００個、４まとまりで２０００個となりますネ。このことから、１０組のまとまりが４つあること、つまり、５０個のビー玉の組が４０組あることが分かります。ビー玉は１時間に５０個ずつ外に出て行きますから、したがって、全部外に出るのに４０時間かかることになりますよ。
　それでは、単位や言葉をまた元に戻しましょう。すると、泉の水が全部外に出て空になるのに４０時間かかることが分かります。答は４０時間です。（２０１４．１１．２９）

✪問題－２６✪
　１分間に何Ｌかの割合で水がわき出ている泉があります。この泉が満水の時から、ポンプを使って１分間に１４Ｌの割合で水をくみ出すと、泉は２５分で空になります。泉は１分間に何Ｌの割合で水がわき出ていますか。なお、泉は満水のとき、２７５Ｌの水がたまっているそうです。

✪解説✪
　「泉」を「箱」に、それから単位（Ｌ）を単位（個）に置き換え、ビー玉を「モデル」に問題を分析してみましょう。すると、まず、箱の中にはじめにビー玉が２７５個入っていることが分かります。問題ではこのビー玉が２５分で全部外に出てしまいますから、ここで、箱を２５個用意して、２７５個のビー玉を一個ずつ分けてみましょう。一箱に何個ビー玉が入っていますでしょうか。そうですね。１１個です。これで箱の中のビー玉が１分間に１１個ずつ減っていることが分かります。
　ところで、問題を読み直すと、ビー玉が１分間に１４個ずつ減っていることが分かります。計算によると、１分間に減っているのは１１個です。どうして、このような違いが起きているのでしょうか。そうですね。ビー玉が１分間に１４個外に出るとき、箱の中に１分間に３個入って来ているからです。だから、箱の中のビー玉は１分間に１１個ずつ減ることになるわけです。
　それでは、単位を（個）から（Ｌ）に戻しましょう。すると、泉の水が１分間に３Ｌの割合でわき出していることが分かります。答は３Ｌです。（２０１４．１１．２０）

✪問題－２５✪
　１分間に２Ｌの割合（わりあい）で水がわき出ている泉があります。この泉が満水の時から、１分間に１０Ｌの割合で水をくみ出すポンプを１台使って水をくみ出すと、泉は３０分で空になるそうです。この泉は満水のとき、何Ｌ水がたまっていますか。

✪解説✪
　それでは、今回もビー玉をモデルにして問題を解いてみましょう。まず、「泉」を「箱」に、単位の「Ｌ」を「個」に置き換えます。すると、この箱にビー玉が１分間に２個の割合で入って来ると同時に、この箱の中からビー玉が１分間に１０個の割合で出て行くことになります。したがって、箱の中のビー玉が１分間に８個ずつ減って行くことになります。「箱」は３０分で空になりますから、これから、８個の組が全部で３０組あることが分かります。このことから、箱の中にビー玉が２４０個あることが分かります。ここで、単位の「個」を「Ｌ」に戻すと、したがって、泉には２４０Ｌの水がたまっていることが分かります。答は２４０Ｌです。（２０１４．１１．９）

✪問題－２４✪
　広さが１６０㎡の広場ではいつも１時間に１㎡ずつ草が生えています。ここに１時間に３㎡ずつ草を食べる牛を何頭か放（はな）しました。すると広場の草は２０時間で食べ尽くされてしまいました。この広場には牛が何頭いましたか。

✪解説✪
　それではさっそく、ビー玉をモデルにして問題を解いてみましょう。まず箱の中にビー玉が１６０個あると考えます。この箱の中にはビー玉が１時間に１個ずつ入る仕掛（しか）けになっていますので注意しましょう。この仕掛けによって、ビー玉が２０時間で２０個箱の中に入りますね。ですから、箱の中にはビー玉が全部で１８０個入っていたと考えられます。そして、ここです。これが２０時間で箱からすべて出て行ったと考えるのです。
　次に、１８０個のビー玉を２０組に分けてみましょう。１組が９個のビー玉から成っていることが分かります。１組を１時間という言葉に置き換えると、ビー玉が１時間に９個ずつ外に出ていたことが分かります。ところで、ビー玉は１つの穴から１時間に３個ずつ外に出ていますから、これで穴が全部でいくつ開いているか分かりますね。そうです。３つです。
　以上により、広場に牛が３頭いたことが分かります。答は３頭です。（２０１４．１０．２８）

✪問題－２３✪
　２頭の牛が広さ１６０㎡の広場で草を食べています。今１頭で１時間に３㎡の広さの草を食べるとすると、２頭では広場の草は何時間で食べ尽くされてしまうでしょうか。ただし、草は牛が食べ終えた場所にだけ１時間に１㎡ずつ生えるものとします。また、牛はいつも草を休みなく食べているものとします。

✪解説✪
　現在、私たちは「ビー玉の問題」をモデルにして問題を解いています。ここでも、「２頭の牛」を「２つの穴」、「１６０㎡」を「１６０個のビー玉」、「１時間に３㎡」を「１時間に３個」、「１時間に１㎡」を「１時間に１個」と置き換えてみましょう。すると、問題は１６０個のビー玉が入っている箱の中からビー玉が１時間に計６個ずつ外に出て行くとすると、箱の中のビー玉がなくなるまでに何時間掛かるか、という問題に書き換えられることが分かります。
　さっそく問題を解いてみましょう。まず注意しなければならないことがあります。それは前回と違って、今回はビー玉が１時間に計６個ずつ外に出て行くと同時に、１時間に１個ずつ中に入っているということです。このため箱の中のビー玉は１時間に５個ずつ減（へ）ることになります。それでは１６０個のビー玉を５個ずつに分けてみましょう。すると、ビー玉が３２組に分けられることが分かります。１時間に１組ずつ外に出て行きますから、全部の組が外に出るのに３２時間掛かることになりますね。これで、２頭の牛が１６０㎡の草を３２時間で食べ尽くしてしまうことが分かりました。答は３２時間です。（２０１４．１０．１９）

✪問題－２２✪
　２頭の牛が広さ１６０㎡（平方メートル）の広場で草を食べています。今１頭で１分間に２㎡の広さの草を食べるとすると、２頭では広場の草は何分で食べ尽（つ）くされてしまうでしょうか。ただし、ここでは簡単にするため、食べ終えた後に草は生えてこないものとします。

✪解説✪
　この問題をこれまでと同じように「ビー玉の問題」をモデルにして考えてみましょう。まず、「２頭の牛」を「２つの穴」、「１６０㎡」を「１６０個のビー玉」、「１分間に２㎡」を「１分間に２個」に書き換えます。すると、問題は１６０個のビー玉が入っている箱の中からビー玉が１分間に計４個ずつ外に出て行くとすると、箱の中のビー玉がなくなるまでに何分掛かるか、という問題に書き換えられます。
　それではさっそく、１６０個のビー玉を４個ずつの組に分けてみましょう。すると、４０組になることが分かります。これから４０分でビー玉がすべて外に出ることが明らかになります。つまり、牛は広場の草を４０分で食べてしまうことになります。答は４０分です。（２０１４．１０．１１）

✪問題－２１✪
　水槽（すいそう）の中に水が何Ｌ（リットル）か入っています。この水槽の下に穴が２つ開いています。今両方の穴から水をそれぞれ１分間に７Ｌずつ外に出すと同時に、水槽の中に水を１分間に４Ｌずつ入れる実験をしたら、１５分で水槽の中の水がなくなりました。実験を始める前、水槽の中に水は何Ｌありましたか。

✪解説✪
　さて、いかがでしょうか。すでに気付かれた方もいらっしゃると思いますが、そうですね。前の「問題－２０」の中の「ビー玉」を「水」に、単位の「個」を「Ｌ」に置き換えただけにすぎません。算数や数学の得意なお子さんはこのことに気付き、計算しないですぐに１５０（Ｌ）と答を出してしまいます。ところが、これに気付かなかったお子さんは、説明も何もしないでいきなり新しい問題が出て来たと驚かれたことと思います。このような問題は他にもまだあります。次回はそのような問題を「ビー玉の問題」をモデルにしてもう少し作ってみましょう。これは理系（りけい）の勉強を得意にするためにとても大切な訓練なのですよ。（２０１４．１０．１）

✪問題－２０✪
　箱の中にビー玉が何個か入っています。この箱の下に穴が２つ開いています。今両方の穴からビー玉をそれぞれ１分間に７個ずつ外に出すと同時に、箱の中にビー玉を１分間に４個ずつ入れる実験したら、１５分で箱の中のビー玉がなくなりました。実験を始める前、箱の中にビー玉は何個ありましたか。

✪解説✪
　さて、いかがですか。解けましたでしょうか。では、考えてみましょう。まず、前回の考え方を利用したいと思います。
　箱の下の２つの穴から合わせて、１分間に１４個のビー玉が外に出て行きます。ところが、この箱には１分間に４個ずつ入っていますね。このことから、箱の中のビー玉が１分間に１０個ずつ減っていることが分かります。ビー玉が箱から全部出てしまうのに１５分掛かっていますから、１０個の組が全部で１５組あったことが分かりますね。したがって、ビー玉は全部で１５０個ありました。答．１５０個．（２０１４．９．２３）

✪問題－１９✪
　箱の中にビー玉が１２６個入っています。この箱の下に穴が２つ開いています。今両方の穴からビー玉をそれぞれ１分間に６個ずつ外に出すと同時（どうじ）に、箱の中にビー玉を１分間に３個ずつ入れる実験をしたいと思います。さて、箱の中のビー玉がなくなるのに何分かかるでしょう。

✪解説✪
　いかがでしょう。この問題解けましたでしょうか。それではご一緒に考えてみたいと思います。
　まず、下の２つの穴から合わせて１分間に１２個ずつ外に出て行きます。ところが、箱の中に１分間に３個ずつ入って来ます。したがって、箱の中のビー玉は１分間に９個ずつ減って行くことになります。と言うことは、箱の中のビー玉を９個ずつに分けて行けばいいわけです。それではさっそく分けてみましょう。何組出来ますでしょうか。そうですね。１４組です。
　ところで、１組が外に出るのに１分掛かるのでした。つまり、１４組あるということは、全部外に出てしまうのに１４分必要（ひつよう）なわけです。答は１４分ですね。（２０１４．９．２０）

✪問題－１８✪
　問題－１７を５個入り１袋と７個入り１袋を一緒にして、これを１組と考え、そして解いてください。さて、どうすればいいでしょうか。

✪解説✪
　お待たせしました。それではご一緒に解いてみましょう。まず、５個入り１袋と７個入り１袋を１つにして、これを１組とします。ビー玉は全部で１１１個ありましたね。さて、何組出来て、何個余りますでしょうか。そうですね、９組出来て、３個余ります。つまり、５個入りと７個入りがそれぞれ９袋ずつ出来て、３個余っていることになります。
　ここで、７個入りの１袋からビー玉を全部取り出して、これに余りの３個を足してみましょう。ビー玉が１０個になります。これで、５個入りの袋が２つ作れますね。以上により、５個入りが１１袋、７個入りが８袋出来たことになります。
　問題では袋は全部で１９個でした。１１＋８＝１９ですから、明らかに成り立っています。したがって、これを答としたいと思いますが、どうでしょう。実は、これを答とすることは出来ません。もしかすると、まだ他にも答があるかも知れないからです。これを調べなければなないのです。さっそく、調べてみましょう。
　まず、５個入りの袋の数を△、７個入りの袋の数を□として、それぞれの数を（△，□）の組で表しましょう。なお、5個入りの袋7個と7個入りの袋5個が交換できますので注意しましょう。したがって、

　（△，□）＝（１１，８），（１８，３），（４，１３）．

　ここで、１８袋＋３袋＝２１袋，４袋＋１３袋＝１７袋となって、問題の１９袋にはなりません。これで他に答がないことが分かりました。したがって、答はこれまで通り５個入り１１袋、７個入り８袋となります。（２０１４．９．１５）

✪問題－１７✪
　箱の中にビー玉が１１１個あります。今これを５個入りの袋と７個入りの袋に分けて入れたところ、全部で１９袋できました。それぞれの袋の数を求めましょう。

✪解説✪
　お待たせしました。それではさっそく、まずこれまで通り、１１１個のビー玉を全部５個入りの袋に入れてまいりましょう。袋はいくつできて、何個余りますでしょうか。そうですね。２２袋出来て、１個余ります。
　ここで、５個入りの袋を４つ取り出して、ビー玉を１つにまとめ、これにさらに残っている１個を加えましょう。これでビー玉が２１個になりました。これを７個入りの袋に入れてみましょう。袋がいくつ出来ましたか。そうです。３袋出来ました。以上により、５個入りが１８袋、７個入りが３袋出来たことが分かります。
　次に、５個入りの袋を７つ取り出し、これを７個入りの袋に１個ずつ入れて行ってみましょう。すると、７個入りの袋が５つ出来ることが分かります。つまり、５個入りの袋７つと７個入りの袋５つを交換出来ることが分かります。
　それでは、これまで通り、５個入りの袋の数を△、７個入りの袋の数を□として、それぞれの数を（△、□）の組で表してみましょう。すると、

　（△、□）＝（１８，３），（１１，８），（４，１３）．

　ところで、問題をもう一度読み直してみると、５個入りと７個入りの袋の数の合計が１９袋であることが分かります。このことを頭に入れて、上で求めた組をもう一度調べると、５個入り１１袋、７個入り８袋が条件（じょうけん）にあてはまることが分かります。答．５個入り１１袋、７個入り８袋．（２０１４．９．９）　

✪問題－１６✪
　問題－１４，１５では解き方を実験的に工夫（くふう）しながら問題を解いています。ここで、もう一度だけ解き方を工夫して解いてみましょう。今度は３個入りのビー玉１袋と５個入りのビー玉１袋をまとめて、これを一組として問題を解いていただきます。５個入りの袋の数はどのようになるでしょうか。

✪解説✪
　お待たせしました。それではさっそく解いてみましょう。まず、３個入りのビー玉１袋と５個入りのビー玉１袋を１つにまとめて１組とします。これで１組８個のビー玉のまとまりが出来ました。それでは１９０個のビー玉を８個ずつに分けてみましょう。何組出来て、何個余りますか。そうですね。２３組出来て、６個余ります。この余り６個から３個入りの袋が２袋出来ますね。また、２３組の中には３個入りと５個入りの袋が２３袋ずつありますから、以上により３個入りが２５袋、５個入りが２３袋あることが分かります。
　したがって、３個入りの袋の数を△、５個入りの袋の数を□として、それぞれの数を（△、□）の組で表すと次のようになります。ただし、これまでの考えによって、５個入りの袋３つと３個入りの袋５つを交換（こうかん）出来ることに注意しましょう。
　まず、３個入りの袋を増やしていく場合を考えます。
　（△、□）＝（２５，２３），（３０，２０），（３５，１７），（４０，１４），（４５，１１），（５０，８），（５５，５），（６０，２）
　次に、２３個入りの袋を減らしていく場合を考えます。
　（△、□）＝（２５，２３），（２０，２６），（１５，２９），（１０，３２），（５，３５），（０，３８）
　以上により、５個入りのビー玉の袋の数として次の数が考えられますね。
　答．３８，３５，３２，２９，２６，２３，２０，１７，１４，１１，８，５，２．
　どうですか。やはり、同じ答えになりますね。それでは今度は内容を少しだけ変えた問題を実験しますよ。（２０１４．８．２３）

✪問題－１５✪
　問題－１４は１９０個のビー玉を３個入りの袋と５個入りの袋に分けるとき、５個入りの袋が何袋出来るかを考える問題でした。この問題を解くとき、まず全部を５個入りの袋に分けて入れる場合を考えました。今度はこの同じ問題を、まず全部を３個入りの袋に分けて入れる場合から考えてみたいと思います。さて、いろいろと工夫することによって、５個入りの袋の数として考えられる数を求めてみましょう。
　
✪解説✪
　お待たせしました。それではいよいよ問題を実験的に解いていきましょう。まず、１９０個のビー玉を３個ずつ袋に入れてまいります。大変ですが、全部入れ終わりましたら、袋がいくつ出来て、何個余っているか調べてくださいね。どうでしょうか。そうですね。６３袋出来て、１個余っています。
　まず、ここで問題となるのは、残った１個をどうするかということです。たとえば、１袋３個のビー玉と残った１個を合わせてみましょう。４個ですね。次に、２袋６個のビー玉と残りの１個を合わせてみましょう。７個です。今度は３袋９個のビー玉と残りの１個を合わせてみましょう。１０個です。すでにお分かりと思いますが、これで５個入りの袋を２つ作れますね。以上により、１９０個のビー玉を３個入り６０袋と５個入り２袋に分けられることが分かります。
　次に、３個入りの袋を５つ用意し、それぞれの袋から１個ずつ取り出して、５個入りの袋に入れ直してみましょう。すると、５個入りの袋が３つ出来ることが分かります。このことから、３個入りの袋を５つ減らすと、５個入りの袋が３つ増えることが分かります。
　ここで、３個入りの袋の数を△、５個入りの袋の数を□として、それぞれの数を（△、□）の組で表してみましょう。すると、５個入りと３個入りのビー玉の袋の数を次のように分けられることが分かります。
　（△、□）＝（６０，２），（５５，５），（５０，８），（４５，１１），（４０，１４），（３５，１７），（３０，２０），（２５，２３），（２０，２６），（１５，２９），（１０，３２），（５，３５），（０，３８）
　以上により、５個入りのビー玉の袋の数として考えられる数は次のようになります。
　答．３８，３５，３２，２９，２６，２３，２０，１７，１４，１１，８，５，２．　　（２０１４．８．１５）

✪問題－１４✪
　太郎君と次郎君は１９０個のビー玉を２人で一袋（ふくろ）を３個ずつと５個ずつに分けていきました。すると、全部のビー玉を余りなくちょうど分けることが出来ました。５個入りのビー玉の袋が何袋出来たと考えられますか。考えられる数を求めましょう。なお、ここではｘ（えっくす），ｙ（わい）を使わないで解いてくださいね。

✪解説✪
　それではさっそく解いてみましょう。ここでは問題を実験をするように工夫して解いていくことが大切です。まず、１９０個のビー玉を全部５個ずつ袋に入れて分けてしまいましょう。さて、分けた後で袋がいくつできたか数えてみましょう。そうですね。３８袋できました。
　次に、５個入りの袋を３つ用意し、それぞれの袋から１個ずつ取り出して、３個入りの袋に入れ直してみましょう。すると、３個入りの袋が５つ出来ることが分かります。このことから、５個入りの袋を３つ減（へ）らすと、３個入りの袋が５つ増（ふ）えることが分かりますね。
　ここで、５個入りの袋の数を□、３個入りの袋の数を△として、それぞれの組の数を（□、△）と表してみましょう。すると、５個入りと３個入りのビー玉の袋の数をを次のように分けられることが分かります。
　（□、△）＝（３８，０），（３５，５），（３２，１０），（２９，１５），（２６，２０），（２３，２５），（２０，３０），（１７，３５），（１４，４０），（１１，４５），（８，５０），（５，５５），（２，６０）
　以上により、５個入りのビー玉の袋の数として考えられる数は次のようになります。
　答．３８，３５，３２，２９，２６，２３，２０，１７，１４，１１，８，５，２，
　どうですか。出来ましたか。次回は、同じ問題を今度ははじめに全部３個ずつ袋に分けて入れていく場合から考えてみましょうね。（２０１４．８．６）

✪問題－１３✪
　太郎君はビー玉を４１個、花子さんはビー玉を２６個持っていました。２人は一組を同じ個数にしてビー玉を数えて行くと、余りが同じ個数になりました。一組を何個ずつにして数えていたと考えられますか。

✪解説✪
　それでは、はじめましょう。問題は「同じ個数だけ余った」ということです。まず、この余った個数を取り除いてしまいましょう。これからどのようなことが分かるでしょうか。そうです。残っている太郎君のビー玉の数と花子さんのビー玉の数の中に同じ個数の組がびったり入っているということです。ここで、一組の同じ個数を□個としましょう。すると、このことから、次のことが分かります。それは、太郎君と花子さんのビー玉の個数の違いの中に□個の組がぴったり入っているということです。
　ここで、太郎君と花子さんのビー玉の個数の違いを計算してみましょう。これは次の式で求められますネ。

　４１－２６．

　まず、４１を１０の長さの直線３本と５の長さの直線２本、１の長さの直線１本に分け，次に２６を１０の長さの直線２本と５の長さの直線１本、１の長さの直線１本に分けましょう。これから両方の数の中から同じ長さの直線を取り除いてみましょう。すると、１０の長さの直線１本と５の長さの直線１本が残ること、つまり、太郎君と花子さんのビー玉の個数の違いが１５個であることが分かります。もう気付かれたお友だちもいると思いますが、この１５の数の中に一組を□個とした組がぴったり入っているわけです。
　ここで〇を１５個書いて、□がいくつの時余りを作らないで分けられるか考えてみましょう。まず、□＝１の場合（ばあい）です。この時は余りなく全部分けられますね。□＝２の場合はどうでしょう。この時は組が７つ出来て、１個余ります。□＝３の場合はどうでしょう。５つの組にきちんと分けられます。□＝４の場合は、３個余りますね。□＝５の場合は３つの組にきちんと分けられます。このようにして続けて行くと、□＝６から□＝１４まできちんと分けられないことが分かります。そして、さいごは□＝１５の場合で、この時は１つの組にきちんと分けられていますね。
　以上のことから、□＝１，３，５，１５の時に余りを出さないできちんと分けられることが分かります。ただし、□＝１の場合は、太郎君と花子さんのビー玉そのものも余りなく分けられてしまいますので、ここではこの数は除かねばなりません。
したがって、答は、３個，５個，１５個となります。
※注意：この問題は約数（やくすう）とか倍数（ばいすう）の考えを使わずに解いていますので、学年に関係なくだれでも解くことができます。大切なのはまず、算数の問題を「実験（じっけん）」するように自分の力で工夫して解き、後でこれを学校の授業で理屈（りくつ）として理解すること（理論化（りろんか）すること）なのです。今回のような問題は都立高校の入試問題でも「考えを整理して解く問題」としてよく出て来ますので、一度は解いておきましょうね（２０１４．７．２５）

✪問題－１２✪
　太郎君、次郎君、一郎君は家に帰って箱の中のビー玉を数えると、それぞれ９７個、６１個、１５１個ありました。次の日、３人で話し合っていると、ビー玉を数えるとき、たまたま一組を同じ個数にして分けていたこと、しかも余りが同じになっていたことが分かりました。３人は一組の個数を何個にして数えていたのでしょう。

✪解説✪
　この問題はかなり難（むずか）しいかもしれません。ここで大切なことは、この問題文を暗記（あんき）してしまうほど、徹底（てってい）して考えることです。ここでの勉強は学校での勉強より進み方がとても遅いです。でもここで育っている考え方が学校の勉強で必（かなら）ず役に立ちますからね。
　それでは考えてみましょう。ここで大切なことは、３人とも余りが同じになったということです。これまでのように「同じ数の余り」の部分を取り除いたとして考えると、太郎君と次郎君が持っているビー玉の数の違いが９７－６１を計算して３６個、太郎君と一郎君の違いが１５１－９７を計算して５４個、次郎君と一郎君の違いが１５１－６１を計算して９０個であることが分かります。
　次に、同じ数ずつ分けたのですから、上で求めた数３６個，５４個，９０個を余りが出ないようにそれぞれ分けてみましょう。なお、一組の個数を□個、この時に出来る組を△組として考えます（注意：ここでは約数（やくすう）とか倍数（ばいすう）という考えはまだ使っていませんので注意してくださいね）。
　まず、３６個から始めましょう。すると、（□個、△組）＝（１個，３６組），（２個，１８組），（３個，１２組），（４個，９組），（６個，６組），（９個，４組），（１２個，３組），（１８個，２組），（３６個，１組）となります。
　次に、５４個です。同じように考えて、（□個、△組）＝（１個，５４組），（２個，２７組），（３個，１８組），（６個，９組），（９個，６組），（１８個，３組），（２７個，２組），（５４個，１組）となります。
　さいごに、９０個です、同じように考えて、（□個、△組）＝（１個，９０組），（２個，４５組），（３個，３０組），（５個，１８組），（６個，１５組），（９個，１０組），（１０個，９組），（１５個，６組），（１８個，５組），（３０個，３組），（４５個，２組），（９０個，１組）となります。
　以上の計算によって、３人が持っているビー玉の個数の「違いの部分」を余りなくきちんと分けるためには、一組の個数（□個）を何個にすればいいかが分かりました。それでは、余りが出ないようにきちんと分けられる一組の個数としてどのような数があるか、上の３つの場合に当てはまる数を調べて、さっそく書き出してみましょう。すると、１個，２個，３個，６個，９個，１８個であることが分かります。
　ここで注意しなければならないことがあります。それは、もし一組の数を１個として分けて行った場合、余りが作れないということです（注意：ここでは余りが０個になる場合は考えていません）。したがって、３人が次の個数を一組の個数として自分のビー玉を数えたと考えられます。　　答．２個，３個，６個，９個，１８個
（２０１４．７．４）

✪問題－１１✪
　せっかくですから、今回も前回と同じ問題を考えてみたいと思います。もう一度問題を読んでみましょう。

　太郎君はビー玉を６０個、次郎君は４８個持っていました。２人は一郎君に借りていたビー玉を同じ数ずつ出し合って返すことにしました。返した後で残っている数を直線で表すと、太郎君は１センチの長さ３本分、次郎君は１センチの長さ２本分となりました。２人は一郎君にそれぞれ何個ずつ返したでしょうか。

✪解説✪
　皆さんの中には、また同じ問題を解くの（？）と言っている方もいらっしゃるかも知れません。そうなんです。でも、ここで大切なのは、この問題を別の方法で解くことです。お友だちに、「お前の考え、ワンパターンだよ」と言われたことがありませんか。これは自分の頭の中にすでに出来ている「モデル」に当てはめて問題を考えていることを意味しています。「理系的思考訓練（りけいてきしこうくんれん）」をするための土台が出来ている証拠（しょうこ）ですから、この「ワンパターン的思考法」を大切にしてくださいね。それでははじめましょう。
　前回１センチ分の長さがビー玉１２個分になっていることが分かりました。それでは次郎君のビー玉４８個を１２個ずつに分けてみましょう。すると、４つの組に分けられることが分かります。このことから次郎君ははじめに１センチの長さ４本分のビー玉を持っていたことが分かります。
　次郎君は今１センチの長さ２本分のビー玉を持っていますから、次郎君は一郎君に１センチの長さ２本分のビー玉を返したことが分かります。したがって、次郎君が一郎君に返したビー玉の数は

　１２＋１２＝２４

　答は２４個です。太郎君の場合も同じ答えになりますので確かめてみてくださいね。（２０１４．６．１８）

✪問題－１０✪
　前回の問題がどんなに大切かを知っていただくために、次のような問題を作ってみました。皆さん、ぜひ挑戦してください。

　太郎君はビー玉を６０個、次郎君は４８個持っていました。２人は一郎君に借りていたビー玉を同じ数ずつ出し合って返すことにしました。返した後で残っている数を直線で表すと、太郎君は１センチの長さ３本分、次郎君は１センチの長さ２本分となりました。２人は一郎君にそれぞれ何個ずつ返したでしょうか。

✪解説✪
　皆さん、まず図を書いて考えてみてくださいね。それでははじめましょう。はじめに、２本の直線を左端（ひだりはし）をそろえて、少し間を空けて、書きます。上の直線は太郎君のビー玉の数６０個、下の直線は次郎君のビー玉の数４８個を示していますので、上の方を下の方より少し長めに書きましょう。次に、２人は一郎君に同じ数ずつビー玉を返しましたから、これをそれぞれの直線上に左端から□センチの長さで表します（□は自分で決めてくださいね）。つまり、これだけ短くなった結果として、太郎君は３センチ分（ぶん）の長さのビー玉を、次郎君は２センチ分の長さのビー玉を持っているわけです。このことから、太郎君は次郎君より１センチの長さ分だけビー玉を多く持っていることが分かります。
　ところで、２人がはじめに持っていた数から同じ数ずつ引いても、２人が持っている残った数に違いがないことは前回お話しました。このことから、太郎君と次郎君の間の長さ１センチ分の違いがビー玉何個分かを知ればいいことが分かります。この数は次の式で求められますね。

　６０－４８

　これまでと同じように、２人の数の中から同じ数だけ取ってしまいましょう。すると、太郎君と次郎君の個数の違いの１センチ分の長さが１２個であることが分かります。次郎君は今２センチ分の長さのビー玉を持っていますから、１２＋１２を計算して、２４個持っていることが分かります。したがって、次郎君が一郎君に返したビー玉の数は、次の式で求められます（この式は、はじめに持っていた数からさいごに残っている数を引くことを意味しています）。

　４８－２４．

　ここでも同じ数をどんどん取り除いていきましょう。すると、さいごに

　２４－０

　となり、次郎君が一郎君に２４個返したことが分かります。太郎君の場合も同じ答えになりますからぜひ確かめてくださいね。以上により、答は２４個となります。（２０１４．６．８）

✪問題－９✪
　次の式を直線を使って考え、答を出してみましょう。

　３６－２４

✪解説✪
　皆さん、皆さんもまず上の式となる文章を考えてくださいね。進むスピードがゆっくりしていますが、かなり奥の深い分析力が育っていますから、あきらめないでくださいね。皆さんはきっと「こんなの、簡単（かんたん）、簡単」とおっしゃっていることでしょう。そうですね。それでは、問題文を作ってみましょう。

　太郎君と次郎君がお家からビー玉を持って来ました。太郎君はビー玉を３６個、次郎君は２４個持っていました。太郎君は次郎君よりビー玉を何個多（おお）く持っていますか。

　もうすでに「引き算すれば、答が出るよね」とおっしゃっているのが聞こえるようです。そうです、引き算をすると答が簡単に出てしまいます。
　ここでは、これまでのように、直線を使って考えてみましょう。すると、太郎君のビー玉の数は１０の長さの直線３本と残り６の長さの直線１本に、次郎君の数は１０の長さの直線２本と残り４の長さの直線１本に分けられることが分かります。実（じつ）は、ここでとても大切な考えが出て来ます。それは、「２人からそれぞれ同じ数ずつ引いても、２人が持っているビー玉の数の違いに変わりはない」ということです。たとえば、２人が持っている１０の長さを１本ずつ引くと、元（もと）の式は
　
　２６－１４

となります。それでは、１０の長さの直線を２本ずつ引いたらどうでしょう。そうですね、

　１６－４

となります。
　それでは、この最後（さいご）の式を使って考えてみましょう。まず、太郎君の数を１０の長さの直線１本と残り６の長さの直線１本に分けます。さらに、次郎君の数が４の長さの直線１本であることから、太郎君の残り６の長さの直線を４の長さと２の長さの直線に分解（ぶんかい）しましょう。そして、これまでのように、２人が持っている同じ長さの直線を取ってしまいます。そうですね、ここでは４の長さの直線を２人から取ってしまうことになります。したがって、元の式は次のようになります。

　１２－０

　これを今までのように直線を使って表すと、太郎君が次郎君より１０の長さの直線１本と残り２の長さの直線１本だけ多く持っていることが分かります。このことから、答は１２となります。なお、上の式の0は何も残っていないことを意味しています。（２０１４．６．１）
　
✪問題－８✪
　次の式を直線を使って考え、答を出してみましょう。

　５４＋［２３＋｛３６＋（２４＋１７）｝］

✪解説✪
　いかがですか。もう式の意味を自分なりに考えられるようになって来ましたか。カッコを使うと式をどんどん複雑に出来ることが分かりますね。それでは、また上の式となる文章を作ることからはじめましょう。たとえば、こうです。

　太郎君と次郎君がお家からビー玉を持ってきました。太郎君は袋を１つ持っていて、そこにはビー玉が３６個、次郎君は２つ袋を持っていて、１つには２４個、もう１つには１７個ビー玉が入っていました。２人がビー玉の合計を数えているとき、花子さんも袋を１つ持って走って来ました。そこにはビー玉が２３個入っていました。もう一度（いちど）数を数え始めていると、夏子（なつこ）さんがやはり袋を１つ自転車（じてんしゃ）で持って来ました。そこにはビー玉が５４個入っていました。さて、ビー玉は全部で何個ありますか。

　これで式の意味が分かりましたね。合計を今までと同じ考え方で求（もと）められることも分かります。それでは早速（さっそく）分解（ぶんかい）してみましょう。まず、左から順（じゅん）に１０の長さの直線５本と残りの長さ４、１０の長さの直線２本と残りの長さ３、１０の長さの直線３本と残りの長さ６、１０の長さの直線２本と残りの長さ４、１０の長さの直線１本と残りの長さ７に分けて行きます。次に１０の長さの直線を１つにまとめると１３本となります。次に、残（のこ）りの長さ３と７で１０の長さの直線が１本、６と４で１０の長さの直線が１本、さいごに４だけが残りました。これで、残りの数をまとめると１０の長さの直線が２本で、さいごに４だけ残ることが分かります。以上により、１０の長さの直線が１５本と４の長さの直線が１本あることが分かりました。ここで、前回お話しましたように、１０の長さの直線１０本で１００となりますから、したがって、１００の長さの直線１本と１０の長さの直線５本、それから残り４の長さの直線が１本得られることが分かります。したがって、答は、そうですね、１５４となります。（２０１４．５．２１）

✪問題－７✪
　次の式を直線を使って考え、答を出してみましょう。

　２３＋｛３６＋（２４＋１７）｝

✪解説✪
　式を見ると、少しずつ複雑（ふくざつ）になって来ているのが分かります。なぜでしょう。これまでは（）（小カッコ）だけでしたが、今回から｛｝（中カッコ）が登場（とうじょう）したからです。もし（）と｛｝の区別（くべつ）がなく、（）だけだったらどうでしょう。ためしに、書いてみてください。いかがですか。式のどこの部分が「一まとまり」なのか分かりませんね。このように、算数や数学の世界では、考えを進める上でカッコはとても大切な意味（いみ）を持っているのです。なお、カッコにはまだ［］（大カッコ）などがありますが、これは次回使ってみたいと思います。
　それでは、まず皆さんに前回と同様（どうよう）に上の式となる元の文章を作っていただきましょう。たとえば、こうです。

　太郎君と次郎君がお家からビー玉を持ってきました。太郎君は袋を１つ持っていて、そこにはビー玉が３６個、次郎君は２つ袋を持っていて、１つには２４個、もう１つには１７個ビー玉が入っていました。２人がビー玉の合計（ごうけい）を数えているとき、花子（はなこ）さんも袋を１つを持って走って来ました。そこにはビー玉が２３個入っていました。ビー玉は全部で何個あるでしょう。

　これで文章が完成しました。このように自分で文章にすると、式の意味がよく分かりますよね。すると、とうやって計算したらいいかもすぐ分かります。
　まず、それぞれの数を２０と４、１０と７、３０と６、２０と３に分けます。２０、１０、３０、２０の数から１０の長さの直線が８本出来ますね。それから、残りの数４と６から１０の長さの直線が１本、同じく７と３から１０の長さの直線が１本出来ることが分かります。以上により、１０の長さの直線が１０本出来たことが分かります。ところで、１０の長さの直線を一列（いちれつ）に並（なら）べていくといくつになりますか。そうですね。１００です。答は、そうです、１００です。（２０１４．５．１３）


✪問題－６✪
　次の式を直線を使って考え、答を出してみましょう。

　３６＋（２４＋１７）

✪解説（かいせつ）✪
　式を見て、「アレッ？」と思われたことでしょう。そうです。式の形がこれまでと違っていますね。それはカッコが出て来たからです。前回お話しましたが、このカッコはその式の部分を「一まとまり」として考えるという意味でした。
　問題を解くとき、ただ計算するだけでなく、この式を使って問題文を作ってみることがとても大切です。これで問題の式の意味を深く考えられるだけでなく、国語の作文力（さくぶんりょく）も育つからです。それでは、さっそく作ってみましょう。

　太郎君（たろうくん）と次郎君（じろうくん）がお家からビー玉（だま）を持ってきました。太郎君は袋（ふくろ）を１つ持っていて、そこにはビー玉が３６個（こ）、次郎君は２つ袋を持っていて、１つには２４個、もう１つには１７個ビー玉が入っていました。ビー玉は全部（ぜんぶ）で何個あるでしょう。

　これで問題文が完成（かんせい）しました。皆さんはどうですか。このように文章にすると、式の意味がよく分かりますね。
　それでは、これまで通り３６の数を１０の長さの直線３本と６の長さの直線１本、２４の数を１０の長さの直線２本と４の長さの直線１本、１７の数を１０の長さの直線１本と７の長さの直線１本で表しましょう。ここで、太郎君と次郎君が６の長さの直線と４の長さの直線を出し合うことによって、１０の長さの直線が１本出来ることも分かります。
　以上により、１０の長さの直線が７本と７の長さの直線が１本出来ました。答は、そうですね、７７です。（２０１４．５．４）

✪問題－５✪
　次の式を直線を使って考え、答を出してみましょう。

　　１３＋２６＋１１

✪かいせつ✪
　問題が少し変わりました。まず式をよく見て、自分なりに「仮説」を立ててみましょう。もしかすると、「こんなことして、本当に力が付くのかなァ」と思われるかもしれません。もちろん、本当に付くのですよ。その日を楽しみに頑張（がんば）りましょう。
　いかがですか。皆さんは、これまでのように、１３の数を１０の長さの直線１本と３の長さの直線１本、２６の数を１０の長さの直線２本と６の長さの直線１本、１１の数を１０の長さの直線１本と１の長さの直線１本に置（お）き換（か）えて考えていることと思います。確認（かくにん）しますが、１０の長さと言っても、自分で「これが１０です」と決めれば、それで十分（じゅうぶん）なのですよ。
　それでは、直線を整理してみましょう。すると、１０の長さの直線が４本と残りの３、６、１の長さの直線がそれぞれ１本ずつあることが分かります。さらに考えを進（すす）め、残りの数をまとめると、何と１０の長さ１本に置き換えられることが分かるではありませんか。このことから、上の問題の式が次のように書（か）き換（か）えられることが分かります。書き換えましょう。

　　１３＋２６＋１１＝１０＋（１０＋１０）＋１０＋（３＋６＋１）
　　　　　　　　
　いかがですか。これによって、上の式には１０の長さの数が５つあることが分かりました。答は、そうです。５０ですね。
　今回から計算を間違（まちが）いなく進めるために使うととても便利（べんり）なカッコが登場（とうじょう）しました。これからしばらくの間、カッコは「数を一まとまりにして考える部分（ぶぶん）」と覚（おぼ）えていてください。（２０１４．４．２８）

✪問題－４✪
　次の式を直線を使って考え、答を出してみましょう。

　　１５＋２１＋５＋９

✪かいせつ✪
　もしかすると、「あれ、また同じ問題？」と思われるかもしれません。そうなんです。同じ問題なのです。しばらく我慢（がまん）してくださいね。
　さて、前回勉強で一番大切なことは「自分の考えを述べることだ」と言いました。どうしてでしょうか。問題を見たとき、「この問題は、こうすると解ける」と思ったとしましょう。これは答が出る前の考えですから、科学（かがく）の世界では一般（いっぱん）に「仮説（かせつ）」と呼ばれています。皆さんは気付（きづ）いていないかもしれませんが、どんな問題でも、それを解く時はかならず「仮説」を立てているんですよ。なぜでしょう。たとえば、問題を読んだ時に「これはたし算だ」と心の中で思い、それから「たし算」をしていませんか。この心の中で思うことが「仮説を立てること」に当たっているからです。
　ここで、「この計算はたし算だ」と仮説を立てて計算をしているとしましょう。さて、答が出ました。これからどうしたらいいでしょうか。お父さんやお母さんに答が正しいかどうか確かめてもらいましょう。もし正しければ、初（はじ）めの「仮説」が正しかったわけです。もし間違っていれば、初めの「仮説」が正しくなかったか、あるいはどこかで計算ミスをしているからであって、もう一度初めからやり直しをしなければなりません。
　このように、問題を解くことによって私たちはいつも「仮説」を立てる練習をしているのですよ。何も考えずに問題を解いていると、算数や数学を解く時のセンスが育たず、力が付きませんので注意（ちゅうい）しましょう。
　それでは、前回の考え方のおさらいをして、自分の「仮説」が正しいかどうか、お父さんやお母さんに確かめてもらいましょうね。（２０１４．４．２０）

●●●●●

✪問題－３✪
　次（つぎ）の式を直線を使って考え、答（こたえ）を出してみましょう。

　　１５＋２１＋５＋９

✪かいせつ✪
　問題の式の形（かたち）が少し変（か）わりました。前回もお話しましたが、勉強で一番大切なことは「自分の考えを述べること」です。それではさっそくおっしゃってください。そうですね。まず、５と９の数が増（ふ）えた、ということです。それから、どうですか。そうですね。１５と５、２１と９を合わせるという考えはとても素晴（すば）らしいアイデアですね。算数や数学、理科（りか）などの世界（せかい）でこのような素晴らしいアイデアが出て来たとき、その感動（かんどう）を表（あらわ）すために「芸術（げいじゅつ）！」って叫（さけ）ぶ人もいるんですよ。それでは、どれほど芸術的（てき）か調（しら）べてみましょう。
　まず、１５と５について考えてみましょう。１５は１０と５に分けられます。残った５と新しく増えた５を合わせると、１０になりますから、そうですね、これで１０の長さの直線が２本出来ました。次に、２１と９についてですが、まず２１を２０と１に分けましょう。すると、２０から１０の長さの直線が２本、それから残りの１と新しく増えた９を合わせると１０の直線が１本出来ますから、これで１０の長さの直線が３本出来たことになりますね。
　まとめましょう。１５の長さの直線と５の長さの直線から１０の長さの直線が２本出来ることが分かりました。また、２１の長さの直線と９の長さの直線から１０の長さの直線が３本出来ることが分かりました。そうですね。以上（いじょう）のことから、１０の長さの直線が５本出来たことが分かります。答は５０です。（２０１４．４．１５）
●●●●●
✪問題（もんだい）－２✪
　つぎの式を直線をつかって考え、答を出してみましょう。

　　１５＋２１

✪かいせつ✪
　問題を見て、「あれ？」と思われたことと思います。そうなんです。前回（ぜんかい）とまったく同じなんです。
　さて、勉強（べんきょう）で大切なことは何でしょうか。それは「自分の考えていることを、積極的（せっきょくてき）に述（の）べること」です。たとえば、上の計算（けいさん）をすることは簡単かもしれません。それでは、自分の考えで計算をするとなるとどうでしょうか。
　前回は１５と２１の数を直線を使って表（あらわ）し、この２本の直線を「たし合わせる」ことによって、「たし算」をするともとの数より大きな数が得（え）られることが分（わ）かりました。
　それではこの「たし算」を自分の考えで工夫（くふう）して行（おこな）ってみましょう。
　まず、１５の数ですが、ここで１０と５の長さの直線に分（わ）けてみましょう。次に、２１の数ですが、同じ考え方をすると、１０の長さの直線２本と１の長さの直線１本に分けることができます。
　このようにすると、２つの数を「たし合わせる」と１０の数を表す直線が３本と残（のこ）りの５と１の数を表す直線が１本ずつ得られることが分かります。１０の数を表す直線３本で３０、残りの５と１の数を表す直線を合わせると６になります。これで、「たし算」の答が３６となりますね。（２０１４．４．１０）
●●●●●
✪もんだい－１✪
　つぎの式を直線（ちょくせん）をつかって考え、こたえを出してみましょう。

　　１５＋２１

✪かいせつ✪
　さて、みなさんはどのように考えましたか。まず、ここでたいせつなのは「１５は２１より小さい」、または「２１は１５より大きい」ということですね。
　それでは、つぎに移りましょう。まず、１５と２１では２１の方が大きいですから、こちらの方を長い直線で、１５の方は小さいですから、こちらの方をそれより短い直線で書いてください（長さを正確に表さなくてもかまいません）．これで、それぞれの数を「目に見える」ように図で表すことができました。
　いよいよ、さいごです。もんだいは、2つの数を「たす」ことです。「たす」ということは数が「大きく」なることです（ただし、ここではまだマイナスの数は考えません）。ですから、ここでは１５の長さの直線に２１の長さの直線をくっ付けて「たし合わせる」ことになります。どうですか。これで１５と２１の数の「たし算」を図で表すことができました。
　おさらいです。そうです。「たし算」をするともとの数より大きな数が得（え）られることが図から分かりました。こたえは３６となりますね。（２０１４．４．６）
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※おねがい：
　文章中の「直線」は本来なら「線分」とすべきですが、ここでは、それほど厳密には考えておりません。ご了承願います。



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